Сколько диагоналей имеет выпуклый 120 угольник

задача по комбинаторике решение возможно методом сочетания
Сколько диагоналей имеет выпуклый пятнадцатиугольник ?

Когда прочитали 85 страниц, то осталось прочитать 6/11 книги. Сколько страниц во всей книге?

В ответ запишите только число

В саду 470 яблок. Вания 2/5

собрал всех яблок. Сколько яблок ему осталось собрать?

В ответ запишите только число

Задумали число, которое на 303 больше, чем четвертая часть этого задуманного числа. Найдите задуманное число.

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Буду ооочень благодарен, спасибо, можно просто номера ответов

Когда прочитали 85 страниц, то осталось прочитать 6/11 книги. Сколько страниц во всей книге?

Сколько диагоналей имеет выпуклый 120 угольник

Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k -угольник ( k > 3)?

Решение 1

б) Каждая пара точек образует отрезок: сторону или диагональ. Вычитая из числа пар число k сторон, получим число диагоналей.

Решение 2

б) Из каждой вершины выходит k – 3 диагонали. Умножая на число вершин и поделив на 2 (поскольку каждая диагональ соединяет две вершины), получим число диагоналей.

Ломаная

Ломаной линией, или короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Виды ломаной

Многоугольники

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac<2>$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac<2>$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $\ldots$, $A_OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=360^\circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Теорема

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$\sum\limits_(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ — \sum\limits_A_n=n\cdot180^\circ — 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.

Научный форум dxdy

Сколько диагоналей у выпуклого многоугольника?

Рассмотрим выпуклый -угольник и начнём соединять диагоналями его вершины. Первую вершину надо соединить с вершинами (без неё самой и двух смежных, с которами она соединена рёбрами), вторую вершину с (потому что с первой она уже соединена на предыдущем шаге), а последнюю соединять ни с чём уже не надо будет. В итоге имеем -угольник и начнём соединять диагоналями его вершины. Первую вершину надо соединить с вершинами (без неё самой и двух смежных, с которами она соединена рёбрами), вторую вершину с (потому что с первой она уже соединена на предыдущем шаге),
Рассмотрим квадрат и начнем соединять диагоналями его вершины. Первую вершину надо соединить с вершиной (без неё самой и двух смежных, с которами она соединена рёбрами), вторую вершину с . это похоже на правду?
Можно вообще так рассуждать:
Сколько способов выбрать две вершины из ? Ну и вычесть определенные случаи

Последний раз редактировалось Mikhail_K 01.08.2016, 10:49, всего редактировалось 1 раз.

В итоге имеем вершин должна быть соединена с другими, а так как одна диагональ соединяет сразу две вершины, то делим ещё на два, чтобы не учитывать диагонали дважды. Проблема была скорее в каком-то интуитивном понимании происходящего, чем в вычислении.

Давайте, раз уж создал тему, немного разовьём задачу. Пусть теперь мне интересно максимальное возможное число точек пересечения диагоналей. Так как каждая точка пересечения однозначно определяет две диагонали, то всего вариантов выбора двух диагоналей из общего количества будет ?
Снова на квадрате проверьте, вы будете удивлены количеству точек пересечения диагоналей по вашей формуле