Оценка точности формул интегрирования
При приближенном интегрировании функций необходимо знать погрешность, с которой получено приближенное значение интеграла, так как без нее полученный результат не представляет ценности. Из геометрического смысла интеграла ясно, что каждая из рассмотренных формул дает результат тем точнее, чем больше n, и что наиболее точной является формула Симпсона, а наименее точными – формулы правых и левых прямоугольников. Однако увеличение nведет к возрастанию объема вычислительной работы, что нежелательно, особенно при ручных вычислениях на ЭКВМ.
В математическом анализе выводят формулы для оценки погрешности приближенного интегрирования, имеющие вид для
1) формулы средних прямоугольников
2) формулы трапеций:
3) формулы Симпсона:
где ; – длина отрезка интегрирования; – точное значение интеграла; – приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле средних прямоугольников, трапеций или Симпсона.
Пользуясь этими формулами, можно по заранее заданной точности приближенно вычислить необходимое число отрезков . Ясно, что формулы (6.14), (6.15) и (6.16) неприменимы, если функция задана графически или таблично. Практически ими редко пользуются и при аналитическом задании функции , так как вычисление производных и их оценка обычно весьма трудоемки. Кроме того, промежуточные результаты (ординаты, их суммирование и т. п.) вычисляются приближенно и с округлением, поэтому в окончательном результате надо учитывать и эти погрешности.
При вычислениях на ЭВМ для оценки погрешности интегрирования используется так называемый метод автоматического выбора шага интегрирования для достижения заданной точности. Алгоритм этого метода состоит из следующих этапов:
1. Выбирается начальное значение nи вычисляется шаг интегрирования
2. Вычисляется значение интеграла для этого начального шага .
3. Затем шаг уменьшается в два раза , и для него вычисляется значение интеграла .
4. Сравниваются полученные два значения
5. Полученная погрешность сравнивается с заранее заданной точностью . Если , то точность не достигнута, и величине присваивается более точное значение , после чего повторяются этапы 3, 4 и 5 до выполнения условия .
6. При выполнении условия за искомое значение интеграла принимается последнее значение величины .
Этот алгоритм реализуется в стандартной подпрограмме вычисления значения интеграла по формуле Симпсона с заранее заданной точностью . Она включается в библиотеку стандартных подпрограмм (БСП) современных вычислительных машин. Причем число делений заданного отрезка интегрирования выбирается из ряда чисел, начиная с , то есть , представляющих собой степени основания двоичной системы счисления ( ). Такой выбор обусловлен точностью преобразования этих чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
При вычислениях на ЭВМ по формуле Симпсона для достижения заданной точности в три – четыре значащие цифры, как правило, табулируют функцию при (17 ординат) и вычисляют интеграл , затем вычисляют интеграл с удвоенным шагом , делая выборку значений функции через одно и оставляя в промежуточных вычислениях до шести значащих цифр.
В качестве приближенного значения интеграла принимают значение , руководствуясь при этом таким практическим правилом: считается, что в , точных значащих цифр на одну больше, чем совпадающих цифр в , и . Погрешность не превосходит числа
Если приближенное значение интеграла вычисляют по формулам средних прямоугольников или трапеций с двойным пересчетом (то есть с вычислением , и ), то для оценки погрешности приближенного интегрирования получают
Поскольку вычисление и оценка производных обычно трудоемки, то в формулах (14) — (16) вместо производных часто используют отношения соответствующих конечных разностей к шагу интегрирования, то есть полагают
Аналогично оценивают погрешность квадратурных формул и в тех случаях, когда подынтегральная функция задана таблично или графически.
Контрольные вопросы
1. Что такое квадратурная формула? Что такое узлы и веса?
2. Какие квадратурные формулы Вы знаете? Каково их общее название?
3. С какой целью и как интерполируют подынтегральные функции?
4. Как вычисляются и какими свойствами обладают коэффициенты Котеса?
5. Приведете иллюстрации использования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).
6. Сравните по ошибке интегрирования частные случаи формулы Ньютона-Котеса.
7. Сравните по ошибке интегрирования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).
8. Численное интегрирование, постановка задачи.
9. Оценка точности формул интегрирования.
10. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
11. Охарактеризуйте метод трапеций.
12. Опишите формулу Симпсона.
13. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и на всем интервале интегрирования.
14. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
15. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по правилу Рунге?
Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 2523 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА
— приближенная формула для вычисления определенного интеграла:
в левой части стоит интеграл, подлежащий вычислению. Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций. Первая из них р(х)считается фиксированной для данной К. ф. и наз. весовой функцией, функция f(x)принадлежит достаточно широкому классу функций, напр, непрерывных и таких, что интеграл в левой части (1) существует. Сумма в правой части (1) наз. квадратурной суммой, числа xj наз. узлами К. ф., а числа С j — коэффициентами К. ф. Нахождение приближенного значения интеграла с помощью формулы (1) сводится к вычислению квадратурной суммы; при этом значения узлов и коэффициентов обычно берутся из таблиц (см., напр.. [3]).
Наибольшее распространение получили К. ф., основанные на алгебраическом интерполировании. Пусть х 1,. . xN— попарно различные точки (обычно xi
[a,b], хотя это требование не является обязательным) и Р(х)- интерполяционный многочлен функции f(x), построенный по ее значениям в этих точках:
здесь Li(x)- многочлен влияния i-го узла: Li(xj) =dij(dij — символ Кронекера). Интеграл по [а, 6] от p(x)f(x)приближенно заменяется интегралом от р(х) Р<х);получается приближенное равенство вида (1), в к-ром
Существование интегралов в (2) равносильно существованию моментов весовой функции
(здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р(х)существуют, в частности в случае р(х)=1 промежуток [ а, b]считается конечным).
К. ф. (1), коэффициенты к-рой определяются равенствами (2), наз. интерполяционной. Целое число
наз. алгебраической степенью точности К. ф. (1), если эта формула точна, когда f(x)- любой многочлен степени выше d, и не точна для f(x)=x d+1 . Чтобы К. ф. (1) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы для ее алгебраич. степени точности dвыполнялось неравенство 
Пусть р(х)=1 и [a, b]конечен. Интерполяционная К. ф. с равноотстоящими узлами
где n — натуральное число, N=n+l, наз. Ньютона— Котеса квадратурной формулой;такая К. ф. имеет алгебраич. степень точности d=n при пнечетном и d=n+1 при пчетном. Интерполяционная К. ф. с одним узлом
наз. прямоугольников формулой, ее алгебраич. степень точности d=l, когда x=(a+b)/2, и d = 0 в остальных случаях. Пусть
Интерполяционная К. ф. (1), у к-рой узлами являются корни ортогонального на [ а, b]с весом р(х)многочлена степени N, наз. квадратурной формулой гауссова типа; ее называют также квадратурной формулой наивысшей алгебраич. степени точности, так как при условиях (4) никакая К. ф. с Nузлами не может быть точна для x 2N . Наиболее употребительны К. ф. гауссова типа, к-рые определяются следующими частными случаями веса р(х) и промежутка [a, b]:
вес Якоби (1-x) a (1+х) b (a>-1, b>-1), [-1, 1] при значениях параметров: а) a=b=0 (Гаусса квадратурная формула), б)
( Мелера квадратурная формула), в) a=b=
, г)
вес Эрмита е -x2 (
‘ );
вес Лагерра х a е -x (a>-1), (
).
Существуют К. ф., в к-рых часть узлов заранее фиксирована, а остальные узлы выбираются так, чтобы К. ф. имела наивысшую алгебраич. степень точности. Таковы, в частности, Лобатто квадратурная формула и Радо квадратурная формула для вычисления интеграла по [ — 1, 1] с весом 1. В первой из них фиксированными узлами являются -1, 1, а во второй — одна из этих точек.
Две К. ф. с весом 1
наз. подобными, если tj—c=s(tj-g),Cj=sГ j, j=1, 2, . т, где s определяется равенством d-c’=s(d-g). В случае конечного [a, b]
где х i определяются равенствами (3). Если для вычисления интегралов по промежуткам [х;, х i+1]применяются К. ф., подобные одной и той же К. ф., то равенст-
В случае b-a=2p эта К. ф. точна для cos kx,sin kx при k = 0,1, . . ., n-1.
Можно рассматривать интерполяционные К. ф., к-рые получаются интегрированием интерполяционного многочлена Эрмита функции f(x). В квадратурную сумму такой К. ф. входит не только значение самой функции в узле, но и значения ее последовательных производных до нек-рого порядка. Значение производных подинтегральной функции на концах промежутка интегрирования используются и в Эйлера— Маклорена формуле.
Для погрешности К. ф. (1)
имеются представления, в к-рые входит производная f (r) (x). Эти представления мало пригодны для фактической оценки R(f), так как при этом требуется оценка производной f (r) (x). Погрешность R(f) является аддитивным и однородным функционалом на векторном пространстве функций, для к-рых она определена.
Другой подход основан на минимизации нормы функционала погрешности R(f) построению К. ф.
Пусть R(f) — погрешность К. ф., к-рая точна для всех многочленов степени не выше r-1, при этом [ а, b]= [0, 1] и р(х)=1, и W (r) q(q>1, r- натуральное число) — векторное пространство функций f(x), к-рые на (0, 1] имеют абсолютно непрерывную производную порядка r-1 и суммируемую со степенью qпроизводную порядка r. Две функции из W 
В 
можно ввести норму, полагая для класса 
где f — любая функция, принадлежащая г|5. Функционал погрешности К. ф. рассматривают на 
полагая R(y)=R(f),
Функционал R(y) непрерывен в линейном нормированном пространстве 
Его норма ||R|| характеризует точность К. ф. для всех функций из 
для любой 
справедливо неравенство
к-рое является точным. Ясно, что ||R|| есть функция параметров х k, с k, k=i,2, . N, К. ф., и естественно -пытаться их выбрать так, чтобы ||R|| принимала наименьшее значение. Это приводит к такой К. ф. (из класса рассматриваемых), погрешность к-рой имеет минимальную оценку для всех функций пространства W (r) q. Таким образом, построение К. ф. сводится к решению экстремальной задачи. Эта задача уже в рассмотренном частном случае весьма сложна и ее решение получено (1978) лишь при r=1 и r=2.
Лит.:[1] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; [2] Никольский С. М., Квадратурные формулы, 2 изд., М., 1974; [3] Крылов В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга по численному интегрированию, М., 1966.
И. П. Мысовских.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
Приближенное вычисление определенного интеграла
с помощью разложения подынтегральной функции в ряд
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с помощью ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
Ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням , с точностью до 0,001
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.
Решение: Есть сильное подозрение, что данный интеграл является берущимся, правда, решение не самое простое.
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем разложение:
В данном случае
Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать.
Бывает и так. Члены с возу – студенту легче.
Ответ: с точностью до 0,01.
И снова обратите внимание, что точность 0,01 здесь гарантирована лишь потому, что сходящийся ряд знакочередуется. Для ряда с положительными членами, например, ряда такую оценку проводить нельзя, поскольку сумма отброшенного «хвоста» может запросто превысить 0,00089. Что делать в таких случаях? Расскажу в конце урока. А пока открою секрет, что во всех сегодняшних примерах ряды знакочередуются.
И, конечно, следует контролировать область сходимости ряда. В рассмотренном примере она, кстати, «урезана»: (из-за квадратного корня), однако наш отрезок интегрирования полностью лежит в данной области.
Что произойдёт в «нелегальном» случае, например, с интегралом ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Но, когда мы начнем подставлять значение верхнего предела по формуле Ньютона-Лейбница, то увидим, что числа будут неограниченно расти, то есть каждое следующее число будет больше, чем предыдущее. Ряд-то сходится лишь на отрезке . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает.
Что делать, если вам встретился подобный интеграл? Во-первых, имеет смысл проконсультировать с преподавателем – скорее всего, это опечатка в задачнике или методичке, где авторы недосмотрели, что промежуток интегрирования «вылез» за область сходимости ряда. А может и досмотрели (особенно, если вы учитесь углублённо). Дело в том, что на самом деле этот интеграл разрешим! Разбиваем его на две части:
Первый интеграл вычисляется штатно, а вот во втором – раскладываем функцию в ряд Тейлора по степеням с помощью производных (см. последний параграф), тогда область сходимости полученного ряда будет такова:
– прибавляем ко всем частям неравенства единицу:
– и далее преспокойно интегрируем ряд в его области сходимости!
Вот такая вот совсем не очевидная задача, выражаю благодарность одному из читателей, который указал на этот вариант развития событий.
Интеграл с арксинусом я рассматривать не буду, поскольку он занесен в красную книгу. Лучше дополнительно рассмотреть что-нибудь «бюджетное»:
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Это пример для самостоятельного решения. Что касаемо нуля, то он здесь не помеха – подынтегральная функция терпит лишь устранимый разрыв в точке , и поэтому несобственный интеграл здесь и рядом не валялся, т.е. речь идёт по-прежнему об определённом интеграле. В ходе решения вы увидите, что полученный ряд прекрасно сходится к нулю.
В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее.
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. Но сначала функцию надо представить в соответствующем виде:
К сожалению, ни один частный случай биномиального разложения не подходит, и нам придется использовать громоздкую общую формулу:
В данном случае: ,
Разложение уже на этом этапе лучше максимально упростить. Замечаем также, что четвертый член ряда нам, очевидно, не потребуется, так как в нём еще до интегрирования появилась дробь , которая заведомо меньше требуемой точности 0,001.
Не забываем, что есть еще один множитель:
Наиболее кропотливый этап пройден, вычислим интеграл:
Ответ: с точностью до 0,001.
Нечто подобное для самостоятельного решения:
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
И напоследок обещанный секрет – что делать, если все члены ряда положительны? Скорее всего, в этом случае от вас не потребует вычислить интеграл «с точностью до», а попросят, например, найти сумму первых трёх членов ряда и опционально округлить её до скольких-то знаков после запятой. Но это будет вовсе не «с точностью до», т.к. для положительных рядов довольно трудно оценить сумму остатка. Однако, если «тяжёлый случай» таки имеет место, то обратитесь за консультацией к преподавателю; в рамках данной статьи я не буду освещать специальные методы, которые не находят широкого практического применения.
Рассмотренная типовая задача на самом деле довольно неприятна, так как не существует простых способов проверки результата. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях. Поэтому очень важно подходить к решению таких задач с ясной головой.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем частный случай биномиального разложения:
В данном случае:
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Пример 4: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем разложение:
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Пример 6: Решение:
Используем биномиальное разложение:
В данном случае: , :
Таким образом:
Ответ: с точностью до 0,001.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Сравнение точности методов численного интегрирования на примере элементарных функций
Коровин, Е. А. Сравнение точности методов численного интегрирования на примере элементарных функций / Е. А. Коровин, С. А. Чиглинцева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2022. — № 34 (429). — С. 7-12. — URL: https://moluch.ru/archive/429/94593/ (дата обращения: 22.03.2023).
В статье авторы проводят вычислительный эксперимент, посредством которого производится сравнение возможностей различных методов численного интегрирования на примере элементарной функции.
Ключевые слова: численное интегрирование, точность, приближённое значение интеграла, интерполяция, методы численного интегрирования.
Поскольку аналитическое значение интеграла зачастую получить довольно сложно или вообще невозможно, применение численных методов в интегрировании является актуальной задачей. При этом различные методы численного интегрирования имеют разную точность. В связи с этим в данной работе проведен вычислительный эксперимент для определения и сравнения точности пяти методов интегрирования на примере элементарной функции, точное значение интеграла которой известно.
Существует много сложных и неберущихся интегралов, в таких случаях используют численное интегрирование для нахождения приблизительного значения. Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).
Численное интегрирование применяется, когда:
– сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;
– аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Все основные способы численного интегрирования сводятся к интерполяции функции по ее значениям в узловых точках f ( x i ) и интегрированию интерполяционного многочлена. При этом значение интеграла получается приближенно равным сумме
При различном выборе A i и x i получаются различные квадратурные формулы. Каждая из них обладает некоторой погрешностью
, которую можно оценить следующим образом:
где c >0 — некоторая постоянная, не зависящая от h (зависящая от a , b , вида f ( x ) и метода интегрирования), k -некоторое целое число, называемое порядком точности метода. Чем больше k , тем быстрее убывает погрешность при уменьшении h .
Предлагается рассмотреть квадратурные формулы Ньютона-Котеса, к которым, в частности, относятся формулы прямоугольников (левых, правых и симметричных), трапеций, парабол. В таблице 1 представлены эти формулы и значения констант для оценки погрешности по формуле (2). В таблице обозначено
Квадратурные формулы различных методов
Название метода
Квадратурная формула
c
k
Суть методов заключается в разбиении площади под кривой на площадь определенных фигур, а интеграл на всем отрезке интегрирования считается как сумма этих частичных интегралов.
При методах прямоугольников вместо площади криволинейной фигуры вычисляются площади прямоугольников. В методе левых прямоугольников берется площадь прямоугольника по левой границе (рис. 1), в методе правых прямоугольников — по правой (рис. 2), в методе средних (рис. 3) — по значению функции в середине отрезка. Это интерполяционные многочлены нулевой степени.
Рис. 1. Метод левых прямоугольников
Рис. 2. Метод правых прямоугольников
Рис. 3. Метод серединных прямоугольников
Метод трапеций осуществляет интерполяцию многочлена первой степени. При методе трапеций вместо площади криволинейной фигуры вычисляются площади трапеций (рис. 4).
Рис. 4. Метод трапеций
В методе парабол определяется площадь под параболой. Сама парабола строится через три точки — два значения функции в узловые точках и одно значение между ними в середине отрезка (рис. 5). Метод парабол реализует интерполяцию многочлена второй степени.
Рис. 5. Метод парабол
В данной работе был разработан алгоритм и программа вычисления интеграла выбранными методами для сравнения их точности. В качестве отладочного примера выбрана функция f ( x ) =е х (рис.6) и отрезок интегрирования [0,1].
Рис. 6. График экспоненты y= е х
Результаты работы программы для вычисления приближенных значений интеграла при увеличении количества частичных отрезков вдвое начиная с n= 1, представлены в таблице 2.
Значения интеграла, полученные разными методами численного интегрирования
n
J1
J2
J3
J4
J5
Первый столбец n — количество разбиений отрезка, последующие столбцы J1-J5 представляют собой значение интеграла, полученного с помощью численного интегрирования методами левых, правых, средних прямоугольников, трапеций и парабол соответственно.
Для формирования выводов об оценке погрешности преобразуем полученную таблицу вычисленных приближенных значений, скорректировав каждое из них вычитанием из него точного результата интегрирования функции экспоненты на промежутке [0,1], равного числу 1,718281828459045. Получим таблицу абсолютных погрешностей значений интеграла при разных n (таблица 3).
Абсолютные погрешности значений интеграла для разных методов
n
J1
J2
J3
J4
J5
При анализе полученной таблицы значений скорректированных результатов приближенного вычисления можно сделать следующие выводы:
– При большом шаге разбиения (малом количестве интервалов) наибольшей степенью точности обладает метод Симпсона.
– Методы правых и левых прямоугольников имеют в значительной степени низкую точность. Результат их отклонения от точного значения интеграла, при максимальном количестве отрезков ( n =16777216) укладывается в промежуток между значениями погрешности, которые мы получили методом Симпсона при количестве частичных отрезков 8 и 16.
– Погрешности, которые мы получили при расчетах методами левых и правых прямоугольников, являются по модулю примерно равными друг другу. При устремлении количества частичных отрезков в бесконечность, отношение вычисляемых этими методами значений устремляется к единице.
– Наибольшая точность в итоговых результатах исследования отмечена в методе средних прямоугольников.
– В отличие от прочих приведенных методов, метод Симпсона сокращает погрешность наиболее быстро. Однако этот метод является единственным в рассмотрении, который вышел на «плато», т. е. его точность при достижении определенного уровня в значительной степени не изменялась, в то время как остальные методы уменьшали свою погрешность более равномерно. Это связано с ограничением оптимального числа частичных отрезков в связи накоплением погрешности округления, которая снижает точность при дальнейшем увеличении n , что наблюдается в последних двух строках последнего столбца.
Таким образом, методы левых, правых, серединных прямоугольников, трапеций и парабол были применены для численного интегрирования элементарной функции. Проведенный вычислительный эксперимент позволил проанализировать точность рассмотренных методов численного интегрирования по величине отклонения результатов вычислений от точного аналитического значения интеграла и сделать выводы о возможности применения этих методов.