I. Механика
Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.
График гармонического колебания
График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.
Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.
Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.
Если колебание описывать по закону косинуса
Если колебание описывать по закону синуса
Максимальные значения скорости и ускорения
Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле
Как получить зависимости v(t) и a(t)
Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).
При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.
Нахождение закона изменения скорости от времени
Сведения об ускорении необходимы для того, чтобы найти закон изменения скорости от времени. Например, зависимость скорости от времени находится как неопределённый интеграл от ускорения по времени: 
, где C – постоянная интегрирования.
При равноускоренном движении 
постоянное число выносится за знак интеграла, следовательно, получается закон изменения скорости: 
.
При 
скорость равна начальной скорости, следовательно, C – это начальная скорость: 
. Отсюда получается закон изменения скорости при равнопеременном прямолинейном движении: 
.
2Связь между линейными и угловыми характеристиками движения вращающегося тела
Угловые (и линейные (dr, V, а) характеристики движения вращающегося тела связаны между собой.
Связь между линейным и угловым перемещениями уже найдена dr = [<Лр, г].
Разделим это выражение на dt:
Поскольку но определению dvldt = v, a dyldt = со, то полученное выражение связывает между собой линейную скорость точки v с её угловой скоростью со:
Таким образом, линейная скорость точки тела, вращающегося с угловой скоростью со относительно неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор г, определяющий положение точки относительно оси вращения. Обратите внимание, линейная скорость разных точек твёрдого тела различна. Чем дальше от оси вращения расположена точка, тем выше её линейная скорость.
Возьмём производную от последнего выражения по времени:
Величина dvidt по определению есть полное ускорение точки a, d(o/dt — угловое ускорение е, a dxidt — линейная скорость. Поэтому полученное выражение мы можем переписать в виде
Можно показать, что в случае вращения относительно неподвижной оси [е, г] есть тангенциальное ускорение a t, а [со, v] — нормальное ускорение а„. Модули компонентов полного ускорения равны:
Модуль полного ускорения
3Третий закон Ньютона
Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой F → 1 → 2 <\displaystyle <\vec
Третий закон Ньютона является следствием однородности, изотропности и зеркальной симметрии пространства [14] [15] .
Третий закон Ньютона, как и остальные законы ньютоновской динамики, даёт практически верные результаты лишь только тогда, когда скорости всех тел рассматриваемой системы пренебрежимо малы по сравнению со скоростью распространения взаимодействий (скоростью света). [16]
Современная формулировка
| Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению: F → 2 → 1 = − F → 1 → 2 . <\displaystyle <\vec |
Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно [17] .
Историческая формулировка
Ньютон дал следующую формулировку закона [1] :
| Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны. |
Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав его как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость [18] [19] .
4Центр масс механической системы
Центром масс механической системы называется такая геометрическая точка C, концентрируя в которой (мысленно) массу M всей механической системы, получим, что ее статический момент массы равен статическому моменту массы всей механической системы, т.е.
Проецируя обе части равенства (1.2) на оси координат, получаем аналитические формулы для координат центра масс механической системы:
Выражению (1.2) можно придать и другой вид, если умножить числитель и знаменатель ее правой части на ускорение силы тяжести. В этом случае
где Pj = mj ∙ g (j = 1,2,3,…,n) – веса материальных точек, образующих механическую систему;
∑Pj = M ∙ g = G – вес всей механической системы.
Выражение (1.4) определяет радиус-вектор центра тяжести неизменяемой материальной системы в предположении, что она находится в поле силы тяжести.
Отсюда следует, что центр тяжести неизменяемой (жесткой) механической системы (в частности твердого тела) совпадает с центром масс.
Однако понятия о центре масс и центре тяжести механической системы не являются тождественными. Понятие о центре тяжести как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести.
Понятие же о центре масс как о характеристике распределения масс в механической системе является более широким, так как имеет смысл для любой механической системы независимо от того, находится ли данная система под действием каких-либо сил или нет. Поэтому понятие центра тяжести можно рассматривать как частный случай по отношению к понятию центра масс.
В общем случае следует говорить о центре масс материальной (механической) системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс материальной системы можно пользоваться методами, установленными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии, метод расчленения на простейшие элементы, метод отрицательных масс и т.д.).
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Если закон изменения скорости перед затвором v Р ( т) известен, то известны значения правых частей всей цепочки уравнений (1.70) и тогда, последовательно вычисляя HiQ ( начиная с i 1), с помощью уравнений (1.70) можно построить график изменения напора от фазы к фазе и по нему найти максимальное ( или минимальное) значение напора, а значит и давления. [19]
Если закон изменения скорости перед затвором v F ( t) известен, то известны значения правых частей всей цепочки уравнений (1.70), и тогда, последовательно вычисляя Н / д ( начиная с; 1), с помощью уравнений (1.70) строим график изменения напора от фазы к фазе и по нему находим максимальный ( или минимальный) напор, а значит, и давление. [20]
Определить закон изменения углонсш скорости о) вала 3 при разгоне, если момент М, развиваемый мотором, постоянен, масса каждого бегуна т, главные центральные моменты инерции его / и Л, расстояние от вала Л до центра масс бегуна /, угол наклона дна чаши а. Массой кривошипа и диссипативнымн силами пренебречь. [21]
Найти закон изменения скорости шарика , пренебрегая его весом. [22]
Предполагая закон изменения скорости жидкости , нагнетаемой плунжером в трубы, строго синусоидальным, можно получить выражение для объема жидкости, который должен войти в камеру в период повышения давления и выйти в последующий момент его снижения. [23]
Определить закон изменения скорости точки v ( t), если начальная скорость точки равна нулю, а относительная скорость vr отделяющихся от нее частиц постоянна. [24]
Пусть закон изменения скорости движущейся точки имеет вид v ty ( t), где if ( 0 — заданная функция времени. [25]
Задавая определенный закон изменения скорости звука с расстоянием, Уизем в конечном итоге и получил асимптотические выражения для прироста скорости и давления на фронте ударной волны. Проведенный для ряда конкретных звездных моделей анализ показал, однако, что решение линеаризованного уравнения удовлетворительно описывает общую картину движения лишь в случае, если скорость вещества за фронтом ударной волны в два-три раза меньше его параболической скорости. Поэтому метод не может быть использован при решении задач, связанных с выходом ударной волньч на поверхность звезды, при котором происходит выброс части ее оболочки в межзвездное пространство. [26]
Определить закон изменения скорости движения осциллятора со временем, ее амплитудное значение и сдвиг по фазе относительно смещения s в вязкой среде. [27]
Такой закон изменения скорости внешнего потока реализуется при внешнем обтекании тел в области передней критической точки. [28]
Относительно закона изменения скорости в кильватерном потоке заметим следующее. Периодический отрыв вихрей с кормовой части тела начинается только после того, как число Рейнольдса достигает некоторого, для каждого тела вполне определенного, значения. [29]
Кроме закона изменения скорости , нам важно знать зависимость, описывающую изменение тока в функции времени. [30]
Второй закон Ньютона (Расчёты Примеры)
Второй закон Ньютона это закон который был выведен в результате проведения опытов Ньютоном.
В результате чего были выведена новая формула второго закона ньютона а = F /m,
Что такое второй закон Ньютона, масса и вес тела
Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований.
Ньютон сформулировал второй закон динамики, количественно связывающий изменение движения тела с силами, вызывающими это изменение.
Чтобы исследовать зависимость между силой и ускорением количественно, рассмотрим некоторые опыты.
Ускорение от величины силы
I. Рассмотрим, как зависит ускорение одного и того же тела от величины силы, действующей на это тело. Предположим, что к тележке прикреплен динамометр, по показаниям которого измеряют силу.
Измерив длину пройденного тележкой пути за какой-нибудь промежуток времени t, по формуле s = (at2) : 2 определим ускорение a.
Изменяя величину силы, проделаем опыт несколько раз. Результаты измерения покажут, что ускорение прямо пропорционально силе, действующей на тележку
Отношение силы, действующей на тело, к ускорению есть величина постоянная, которую обозначим m . Это отношение назовем массой тела.
Зависимость ускорения от массы
II. Установим зависимость ускорения тела от его массы. Для этого будем действовать на тележку какой-нибудь постоянной силой, изменяя массу (помещая различные грузы на тележку).
Ускорения тележки будем определять так же, как и в первом опыте. Опыт покажет, что ускорение тележки обратно пропорционально массе, то есть
Обобщая результаты опытов, можно заметить, что ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе данного тела (второй закон ньютона формулировка).
Этот вывод называется вторым законом Ньютона. Математически этот закон можно записать так (формула второго закона ньютона):
а = F /m
где а — ускорение, m—масса тела, F — результирующая всех сил, приложенных к телу. В частном случае на тело может действовать и одна сила.
Результирующая сила F равна векторной сумме всех сил, приложенных к телу;
F = m а.
Следовательно, сила равна произведению массы на ускорение.
Второй закон динамики можно записать в иной более удобной форме. Учитывая, что ускорение
подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона. Получим
F = ma = (mυ2 — mυ1) / (t2 — t1) = ( ∆(m υ))/ ∆t
Что такое импульс
Импульсом, или количеством движения, называется вектор, равный произведению массы тела на его скорость (т υ ).
Тогда основной закон динамики можно сформулировать следующим образом: сила равна изменению импульса в единицу времени (второй закон ньютона в импульсной форме)
F = ( ∆(m υ))/ ∆t
Это и есть наиболее общая формулировка второго закона Ньютона. Массу тела Ньютон определил как количество вещества, содер жащегося в данной теле. Это определение несовершенно.
Из второго закона Ньютона вытекает следующее определение массы. Из равенства
видно, что чем больше масса тела, тем меньше ускорение получает тело, то есть тем труднее изменить скорость это го тела и наоборот.
Следовательно, чем больше масса тела, тем в большей степени это тело способно сохранять скорость неизменной, то есть больше инертности. Тогда можно сказать, что масса есть мера инертности тела.
Эйнштейн доказал, что масса тела остается постоянной только при определенных условиях. В зависимости от скорости движения тела его масса изменяется по такому закону:
где m — масса тела, движущегося со скоростью υ; m0 — масса этого же тела, находящегося в покое; с = 3 • 10 8 м/с скорость света в вакууме.
Проанализируем данное уравнение:
- Если υ«с, то величиной —, как очень малой, можно пре небречь и m = m0, то есть при скоростях движения, много меньших скорости света, масса тела не зависит от скорости движения;
- Если υ ≈ с, то υ2/с2 ≈ 1, тогда т = m0/0— отсюда вытекает, что m → ∞.
По мере увеличения скорости тела для его дальнейшего ускорения нужно будет прикладывать все увеличивающиеся силы.
Но бесконечно больших сил, которые потребовались бы для сообщения телу скорости, равной скорости света, в природе не существует.
Таким образом, заставить рассматриваемое тело двигаться со скоростью света принципиально невозможно.
Со скоростями, близкими к скорости света, современная физика встречается: так разгоняются, например, элементарные частицы в ускорителях.
Масса тела с ростом скорости
Масса тела с ростом скорости увеличивается, но количество вещества остается неизменным, возрастает инертность. Поэтому массу нельзя путать с количеством вещества.
Покажем связь между силой тяжести, массой тела и ускорением свободного падения. Любое тело, поднятое над Землей и ничем не поддерживаемое, падает снова на Землю.
Это происходит вследствие того, что между телом и Землей существует притяжение (этот вопрос более подробно рассмотрим позже).
Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Падение тел в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести (при υ0 = 0) называется свободным падением.
Отметим, что для тел, покоящихся в поле сил тяготения, сила тяжести равна весу тела Р.
Весом тела называется сила, с которой тело давит на горизонтальную подставку, неподвижную относительно Земли, или действует на подвес.
Если Р — сила тяжести, m — масса, g — ус корение силы тяжести (в данной точке Земли оно для всех тел одинаковой среднее его значение равно 9,8м /с 2 ), то применяя второй закон динамики, получим
Выразим с помощью этой формулы веса двух различных тел. Тогда:
P1 = m1g и Р2 = m2g. Разделив почленно эти два равенства, будем иметь
Следовательно, веса тел в данной точке земной поверхности прямо пропорциональны их массам.
Задачи на второй закон ньютона
1. Какая сила F действует на автомобиль массой кгm=1000 кг, если он движется с ускорением мсa=1 м/с 2 .
Дано:
m = 1000 кг
a = 1 м/с 2
Решение:
Запишем второй закон Ньютона :
F = m а.
F = 1000 кг • 1 м/с 2 = 1000 Н
Ответ: 1000 Н.
2. На мяч действует сила F = 70 Н, масса мяча m = 0,2 кг, найти его ускорение a.