Главная страница » Что является результатом отношения бесконечно малых величин

Что является результатом отношения бесконечно малых величин

  • автор:

Бесконечно малые величины и их свойства

Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.

Проследим изменение бесконечно малых на рисунках 1 и 2.

Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох

Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а

Что такое исчисление бесконечно малых величин

Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.

Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:

Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:

Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.

Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было $ <\mathbf \varepsilon >> 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:

Доказать, что функция

является бесконечно малой при $x>+∞$.

Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:

\[\left|f(x)\right|=\left|\frac<1> > \right|=\frac<1> > Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac<1> <\sqrt<\varepsilon >> =N\]

Аналогично для функции вида

Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.

Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.

Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[<3>] <\varepsilon >\begin <> & <\begin <8>& ] <\varepsilon >> \end> \end\]

т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.

Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:

Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.

Свойства бесконечно малых

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  2. Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) — бесконечно малая.
  4. Если $a_n$ — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ — бесконечно большая последовательность.

Докажем, что функция

Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.

Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 — функция является бесконечно малой величиной.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Определение: Функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство: Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениядве бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияЭто означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениянайдутся такие Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениячто будут выполняться неравенства Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияСледовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПолученное неравенство справедливо в меньшей из Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияКроме того, полученное неравенство свидетельствует о том, сумма двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Замечание: Используя метод математической индукции можно доказать утверждение свойства 1. для любого конечного числа n слагаемых бесконечно малых функций.

Пример:

Является сумма бесконечно малых функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпри Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениябесконечно малой функцией.

Решение:

Да, является, так как Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениястремится к нулю при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияНижеприведенные свойства бесконечно малых функций приведем без доказательства, так как они доказываются аналогично свойству 1.

2. Произведение бесконечно малых фу нкций есть бесконечно малая функция.

3. Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияконечный предел Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, частное отделения бесконечно малой функции на функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесть бесконечно малая функция.

4. Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияконечный предел A, то в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияее можно представить в виде суммы предельного значения А и бесконечно малой в этой окрестности функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.

5. (обратное к 4.). Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфу нкцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможно представить в виде суммы предельного значения А и бесконечно малой в этой окрестности функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения,т.е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, то число А является пределом данной функции.

Замечание: Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияконечный предел А, то в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияона ограничена. Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято в той же окрестности будет ограничена и функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения6. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

7. Отношение бесконечно малой функции к ограниченной функции есть бесконечно малая функция.

Бесконечно большие функции

Определение: Функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияназывается бесконечно большой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесли ее предел при этом равен Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решеният.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПостроим график этой функции в некоторой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(Рис. 60): Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

График функции у = Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв малой окрестности точкиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПокажем поведение этой функции в некоторой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(Рис. 61):

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияРис. 61. График функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв малой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Рассмотрим свойства бесконечно больших функций:

1. Сумма бесконечно больших при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункций есть бесконечно большая функция.

Замечание: При вычислении разности бесконечно больших функций может получиться любое вещественное число.

2. Произведение бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция.

Замечание: При вычислении отношения бесконечно больших функций может получиться любое вещественное число.

3. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию есть бесконечно большая функция.

35. Вычисление произведения бесконечно большой функции на бесконечно малую функцию может привести к любому вещественному числу.

4. Отношение бесконечно большой функции к ограниченной функции есть бесконечно большая функция.

Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, которая дается следующими теоремами:

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией, то в этой же окрестности функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения) будет бесконечно большой функцией.

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно большой функцией, то в этой же окрестности функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения) будет бесконечно малой функцией.

Эти теоремы очень часто применяются при вычислении пределов, содержащих бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Основные теоремы о пределах

ТЗ. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениядве бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияНайдем сумму (разность) функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПо свойству 1. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией, следовательно, по свойству 5. для бесконечно малых функций получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Другими словами данную теорему можно сформулировать так: если функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеют конечные пределы а и b, то предел от суммы ( разности) будет равен сумме (разности) пределов от этих функций, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

T4. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениядве бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияНайдем произведение функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПо свойству 2. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией. По свойству 1. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией, следовательно, по свойству 5 для бесконечно малых функций получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Иначе данную теорему можно сформулировать так: если функции f(х) и g(x) имеют конечные пределы а и b, то предел от произведения функций будет равен произведению пределов от этих функций, т.е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпостоянна и равна С (Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения), то ее предел равен С.

Следствие: из теорем: если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, тo Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие: Предел степени функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияравен степени предела этой функции, т.е.Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Тб. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— две бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияС учетом выше сказанного имеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВ числителе дроби стоит бесконечно малая функция (свойство 1 для бесконечно малых функций), а в знаменателе дроби стоит ограниченная функция. По свойству 7. для бесконечно малых функций дробь в целом представляет собой бесконечно малую функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияСледовательно, в Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияотношение функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможет быть представлено в виде Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияОтсюда по свойству 5. для бесконечно малых функций получим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Сформулируем теорему иначе: если функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеют конечные пределы Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято предел от отношения функций будет равен отношению пределов от этих функций, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей

Вычисление любых пределов начинается с подстановки предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв подлимитную функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения Если при этом полу- чается число, то это число и будет пределом данной функции.

Пример:

Вычислить Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подставим в функцию значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияТаким образом, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Вычислить Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Если подставить в функцию предельное значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято числитель дроби стремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияа знаменатель дроби стремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решеният.е. в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией. Воспользуемся теоремой, величина обратная к бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция, предел которой равен бесконечности. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Определение: Если при подстановки предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв подлимитную функцию возникают выражения вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи им подобные, то говорят о наличии неопределенности.

Определение: Процесс нахождения пределов, имеющих неопределенность, называется раскрытием неопределенностей.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей:

1. Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениявозникающая при вычислении предела от отношения двух полиномов при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияраскрывается путем деления числителя и знаменателя на аргумент в высшей степени и использования теореме о связи б.б.ф. с б.м.ф., предел которой равен 0.

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВысший показатель степени равен 4 и находится в числителе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Все дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениястремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 6, а знаменатель — к 0. Используя теорему о связи б.м.ф. с б.б.ф., предел которой равен Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияокончательно получим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВысший показатель степени равен 2 и находится в числителе и знаменателе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВсе дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениястремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 4, а знаменатель — к 7. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

НайтиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВысший показатель степени равен 3 и находится в знаменателе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияВсе дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениястремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 0, а знаменатель — к 1. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Рассмотренные примеры позволяют сделать следующий вывод:Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

2. Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениявозникающая при вычислении предела от отношения двух полиномов при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияраскрывается путем разложения полимонов на простые множители и дальнейшего сокращения числителя и знаменателя дроби на обнуляющий их множитель Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(при этом используются формулы Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подстановка предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв подлимитную функцию приводит к обнулению числителя и знаменателя дроби. Следовательно, дробь приводится к неопределенности Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияДля раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители, для чего решим следующие уравнения: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПо теореме Виета находим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияСледовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияа разложение полинома имеет вид: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияРешим уравнение:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Следовательно, разложение этого полинома на простые множители будет иметь вид: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияПодставим найденные разложения полиномов в исходный предел, получимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Подставляя вместо переменной х ее предельное значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучим ответ: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

3. Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениявозникающая при вычислении предела, со- держащего квадратные корни, при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияраскрывается с использованием фор- мулы, определяющей разность квадратов Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подстановка предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв подлимитную функцию приводит к обнулению числителя и знаменателя дроби. Следовательно, дробь приводится к неопределенности Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияДля раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучим: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Устремляя х к 4, получим неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияДля раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияа знаменатель и числитель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Устремляя x к бесконечности, получим неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияУмножим числитель и знаменатель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияполучимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(знаменатель дроби стремится к бесконечности, следовательно, дробь по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениястремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесли ее предел равен нулю: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесли ее предел равен бесконечности: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если f(x) — бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи наоборот.

Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бес-

конечно малых функций при alt=»Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения» />есть бесконечно малая функция при alt=»Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения» />.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при alt=»Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения» />функции на ограниченную есть бесконечно малая функция при alt=»Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения» />.

Пример №28

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Т.к. sinx — ограниченная функция для любых Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решеният.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Если f(x) и g(x) — бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияне существует, то f(x) и g(x) называют несравнимыми бесконечно малыми при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято функция f(x) стремится к нулю быстрее, чем g(x)

при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияГоворят, что f(x) — бесконечно малая более высокого порядка, чем g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи пишут: f(x)=o(g(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения(читается «f(x) есть о малое от g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения).

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято f(x) называют бесконечно малой более низкого порядка, чем g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи пишут: g(x)=o(f(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято f(x) и g(x) называют бесконечно малыми одного порядка при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи пишут: f(x)=O(g(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.

Особенно важен частный случай, когда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияТогда f(x) и g(x) называют эквивалентными бесконечно малыми при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи пишут: f(x)

g(x), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.

Пример №29

Показать, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпри Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи х являются бесконечно малыми Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияНайдем предел их отношения Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпри Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениячто и требовалось доказать. (Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.)

Утверждение. Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияследующие функции экви- валентны: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияДанная цепочка эквивалентностей используется при нахождении преде- лов.

Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Пример №30

Вычислить предел Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример №31

Вычислить пределБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Определение бесконечно-малых функций и их эквивалентность

Бесконечно малая функция — какие так называют

Бесконечно малой функцией является числовая функция, либо последовательность, стремящаяся к нулевому значению, или предел которой стремится к нулю.

С помощью формул бесконечно малую функцию можно определить, таким образом: функция \(\alpha \left( x \right)\) носит название бесконечно малой при \(x \to a\) в том случае, когда \(\mathop <\lim >\limits_ \alpha \left( x \right) = 0\)

Можно предположить, что \(\alpha \left( x \right) \ и\ \beta \left( x \right)\) представляют собой бесконечно малые функции при условии, что \(x \to a\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существует несколько условий для бесконечно малых функций:

  1. В том случае, когда \(\lim\limits_ \large\frac<<\alpha \left( x \right)>><<\beta \left( x \right)>>\normalsize = 0\) , функция \( \alpha \left( x \right) \) представляет собой бесконечно малую высшего порядка, если сравнить ее с функцией \(\beta \left( x \right)\)
  2. При условии, что \(\lim\limits_ \large\frac<<\alpha \left( x \right)>><<\beta \left( x \right)>>\normalsize = A \ne 0\) , функции \(\alpha \left( x \right) \ и \ \beta \left( x \right)\) будут определяться, как бесконечно малые с одинаковым порядком малости
  3. При \(\lim\limits_ \large\frac<<\alpha \left( x \right)>><<<\beta ^n>\left( x \right)>>\normalsize = A \ne 0\) , можно утверждать, что функция \(\alpha \left( x \right)\) представляет собой бесконечно малую порядка n по сравнению с функцией \(\beta \left( x \right)\)
  4. В том случае, когда \(\lim\limits_ \large\frac<<\alpha \left( x \right)>><<\beta \left( x \right)>>\normalsize = 1\) , для бесконечно малых функций \(\alpha \left( x \right) \ и \ \beta \left( x \right)\) характерна эквивалентность при условии, что \(x \to a\)

Операцию по расчету предела отношения из двух бесконечно малых функций можно упростить. Для этого требуется выполнить их замену на эквивалентные выражения.

Формулировка бесконечно малой функции обладает неразрывной связью с условиями, при которых изменяется ее аргумент. Функция будет являться бесконечно малой, если \(a \to a + 0 \ и\ a \to a – 0\) . Как правило, для обозначения бесконечно малых функций используют первые буквы греческого алфавита \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots.\)

В качестве примера можно рассмотреть следующее утверждение: функция \(f(x) = x\) представляет собой бесконечно малую, если \(x \to 0\) . Данная формулировка корректна, так как предел функции в точке \(a = 0 \) соответствует нулевому значению. Исходя из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними, рассматриваемая функция является бесконечно малой при любом из условий:

  • \(x \to +0\)
  • \(x \to -0\)

К примеру, по классификации функция \(f(x) = 1/\) является бесконечно малой при условии, что \(x \to \infty\) . Кроме того, данная функция также будет являться бесконечно малой, если \( x \to +\infty \ и \ при\ x \to -\infty.\)

Можно рассмотреть постоянное число, которое не равно нулю. Какое бы оно ни было маленькое по абсолютному значению, его нельзя назвать бесконечно малой функцией. В случае постоянных чисел исключением является только ноль, так как для функции \( f(x) \equiv 0\) характерно наличие нулевого предела.

Основными определениями по теме применения бесконечно малых функций являются:

  1. Функции \(\alpha(x) \ и\ \beta(x)\) являются бесконечно малыми, если \(x\rightarrow\alpha\)
  2. В том случае, когда существует \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=C\neq0,\;\infty, функции \ \alpha(x) \ и\ \beta(x)\) являются бесконечно малыми и соответствуют одному и тому же порядку при условии, что \(x\rightarrow\alpha\)
  3. Когда существует \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=0, \ функция \ \alpha(x)\) представляет собой величину с более высоким порядком малости по сравнению с функцией \(\beta(x)\) при условии, что \(x\rightarrow\alpha\)
  4. В том случае, когда \(\not\ni\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>\) , невозможно сравнить между собой бесконечно малые функции \(\alpha(x) \ и \ \beta(x), если \ x\rightarrow\alpha\)
  5. Сумма пары бесконечно больших функций, если \(x\rightarrow\alpha\) , представляет собой неопределенность
  6. При умножении бесконечно большой функции и функции, которая в точке α обладает конечным пределом с нулевым значением, в результате получится бесконечно большая функция при условии, что \(x\rightarrow\alpha\)

Данные определения необходимы, чтобы решать задачи с пределами, используя понятие эквивалента.

Теорема, свойства бесконечно малых функций

Функция \( f(x)\) обладает в точке \(a \in \overline<\mathbb>\) расширенным числовой прямой конечным пределом, который равен числу b, только лишь в том случае, когда рассматриваемая функция соответствует сумме данного числа b и бесконечно малой функции \(\alpha(x)\) при условии, что \(x \to a, \ либо\ \exists

\lim\limits_ = b \in \mathbb \Leftrightarrow \left( f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left( \lim\limits_<\alpha(x) = 0>\right).\)

Свойства бесконечно малых функций:

  • \(\alpha\sim\alpha,\;(\lim_)\frac\alpha\alpha=1\)
  • в том случае, когда \(\alpha\sim\beta \ и \ \beta\sim\gamma\) , получается, что \(\alpha\sim\gamma,\;(\lim_\frac\alpha\gamma=\lim_(\frac\alpha\beta\times\frac\beta\gamma)=1\times1=1)\)
  • при условии, что \(\alpha\sim\beta \ и \ \beta\sim\gamma \ и \ \beta\sim\gamma,\) тогда \( (\lim_\frac\beta\alpha=\lim_\frac1<\displaystyle\frac\alpha\beta>=1)\)
  • в том случае, когда \(\alpha\sim\alpha_1 \ и \ \beta\sim\beta \ и \lim_\frac\alpha\beta=\kappa\) , получается, что \(\lim_\frac<\alpha_1><\beta_1>=\kappa \ или\ \lim_\frac\alpha\beta=\lim_\frac<\alpha_1><\beta_1>\)

Сравнивая между собой бесконечно малые функции, можно сделать следующие выводы:

  • в том случае, когда \(\lim_\frac<\beta(x)>\) является конечным ненулевым числом, \(\alpha(x) \ и \ \beta(x)\) будут определяться, как бесконечно малые функции с одним и тем же порядком;
  • при условии, что \(\lim_\frac<\beta(x)>\) представляет собой ноль, тогда функция \( \alpha(x)\) по отношению к функции \(\beta(x)\) будет определяться, как бесконечно малая функция с более высоким порядком при \(x\rightarrow\alpha\) , а функция \(\beta(x)\) при сравнении с функцией \(\alpha(x)\) является бесконечно малой функцией с меньшим порядком;
  • когда \( \lim_\frac<\beta(x)>\) является бесконечностью, функция \(\beta(x)\) по отношению к функции \(\alpha(x)\) представляет собой бесконечно малую функции с более высоким порядком при \(x\rightarrow\alpha, \ а\ \alpha(x)\) в сравнении с функцией \(\beta(x)\) определяется, как бесконечно малая функция с меньшим порядком.

Необходимое и достаточное условие эквивалентности бесконечно малых функций

Эквивалентностью называют равнозначность в определенном отношении.

С помощью эквивалентных функций можно упростить решение задач на пределы. Достаточно заменить множители в уравнениях, которые содержат дроби или произведения.

Функции \(α(x) \ и \ β(x)\) являются эквивалентными в том случае, когда \(x→α \ и \ \lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=1\)

Такая закономерность справедлива и в случае бесконечно больших, и бесконечно малых функций. Для обозначения эквивалентности используют знак ∼. Таким образом, демонстрируя эквивалентность функций \(α(x) \ и \ β(x)\) , достаточно записать выражение: \(α(x)∼β(x).\)

Упростить задачу на эквивалентные бесконечно малые функции можно, используя специальную таблицу.

\(\displaystyle a^ <\alpha(x)>— 1 \sim \alpha(x) \ln(a)\)

Предположим, что \(\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)\) являются бесконечно малыми функциями при условии, что \(x \to a, причем \ \alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)\) . В таком случае:

Пусть \(\alpha(x)\) представляет собой бесконечно малую функцию при \(x \to a\) , тогда:

  • \(\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)\)
  • \(\displaystyle 1 — \cos(\alpha(x)) \sim \frac<\alpha^2(x)><2>\)
  • \(\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)\)
  • \(\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)\)
  • \(\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)\)
  • \(\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)\)
  • \(\displaystyle\sqrt[n] <1 + \alpha(x)>— 1 \sim \frac<\alpha(x)>\)
  • \(\displaystyle a^ <\alpha(x)>— 1 \sim \alpha(x) \ln(a)\)

С помощью Теоремы 1 можно выполнять замену эквивалентными в произведении и отношении функций. В том случае, когда \(\alpha_1(x),\;\alpha_2(x),\;\beta_1(x),\;\beta_2(x)\) представляют собой бесконечно малые функции, \(а x\rightarrow\alpha \ и \ \alpha_1(x)\sim\beta_1(x),\;\alpha_2(x)\sim\beta_2(x) \ при \ x\rightarrow\alpha\) , получается, что:

  1. \(\alpha_1(x)\times\alpha_2(x)\sim\beta_1(x)\times\beta_2(x)\)
  2. \(\frac<\alpha_1(x)><\alpha_2(x)>\sim\frac<\beta_1(x)><\beta_2(x)>\ при \ x\rightarrow\alpha\)
  3. \(\lim_\frac<\alpha_1(x)><\alpha_2(x)>=\lim_\frac<\beta_1(x)><\beta_2(x)>\)

Теорема 2 заключается в том, что эквивалентность бесконечно малых функций α(x) и β(x) справедлива в том случае, когда при x\rightarrow\alpha выполняется любое из представленных равенств:

  • \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\alpha(x))\)
  • \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\beta(x))\)

Теорема 3 гласит, что результатом разности пары бесконечно малых функций, которые эквивалентны друг другу, является бесконечно малая функция с более высоким порядком по сравнению с каждой из них. Справедливо и обратное утверждение.

Согласно Теореме 4, сумма конечного числа бесконечно малых функций, обладающих разными порядками, эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорему 5, которая применима к замене эквивалентных функций в пределах частного, можно записать следующим образом:

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Существуют теоремы, объясняющие связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией:

1. В том случае, когда функция \( \ y=f(x)\) обладает пределом, равным a, ее можно записать в виде суммы рассматриваемого числа a и бесконечно малой функции \(\ \alpha(x):\)

2. Когда функцию \(\ y=f(x)\) можно записать как сумму числа a и бесконечно малой функции \(\ \alpha(x)\) , число a будет соответствовать пределу функции \( \ y=f(x):\)

В качестве примера можно рассмотреть решение стандартной задачи. По условиям требуется представить доказательство следующего выражения:

При решении функцию \ x+5, которая стоит под знаком предела, следует расписать таким образом:

В этом случае функция \(\ \alpha(x)=x-1\) представляет собой бесконечно малую функцию при условии, что \(\ x \rightarrow 1\) . Утверждение справедливо, так как:

Таким образом, используя теорему, описывающую связь функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно сделать вывод, что:

В результате вычислений выражение, данное в условии, доказано.

Вычисление пределов

Используя представленные выше теоретические положения о бесконечно малых функциях, их свойствах и связи с пределами, можно упростить решение многих задач. Порядок действий при вычислении пределов целесообразно рассмотреть на примерах.

Требуется определить предел: \(\lim\limits_ \large\frac <<\ln \left( <1 + 4x>\right)>><<\sin 3x>>\normalsize\)

Найти предел можно с помощью формулы:

\(\ln \left( <1 + \alpha >\right) \sim \alpha ,\;\;\;\sin \alpha \sim \alpha\)

Необходимо найти предел:

Исходя из того, что:

\(\sqrt[\large 3\normalsize]<<1 + x>> \sim 1 + \large\frac<3>\normalsize\)

для записи предела можно использовать следующее выражение:

\(\cos t \sim 1 — \large\frac<<>><2>\normalsize и \sin t \sim t \ при \ t \to 0\)

Требуется определить предел: \( \lim\limits_ \large\frac<<\sqrt <1 + 2x + 3> — 1>>\normalsize\)

Целесообразно выполнить замену квадратного корня эквивалентной бесконечно малой функцией. В результате получится справедливое равенство:

Необходимо найти предел: \(\lim\limits_ \large\frac <<\ln \left( <\ln x>\right)>><>\normalsize\)

В данном случае целесообразно воспользоваться формулой:

\(\ln \left( <1 + \alpha >\right) \sim \alpha \ при \ \alpha \to 0.\)

Дан предел, который нужно найти: \(\lim\limits_ \large\frac<<1 + \cos x>> <<<<\left( \right)>^2>>>\normalsize\)

В первую очередь следует заменить переменную:

В данном случае:

\(y \to 0\) при условии, что \( x \to \pi\)

Таким образом, предел можно соотнести с выражением:

Используя уравнение приведения: \(\cos \left( \right) = — \cos y \)

По итогам расчетов целесообразно заменить косинус на эквивалентное бесконечно малое выражение:

\(1 — \cos y \sim \large\frac<<>><2>\normalsize\)

Далее можно рассчитать предел:

Необходимо найти предел: \(\lim\limits_ \large\frac<<<<\log >_2>x — 1>><>\normalsize\)

В данном случае целесообразно воспользоваться эквивалентным бесконечно малым выражением для логарифма:

\(\ln \left( <1 + \alpha >\right) \sim \alpha \ при \ \alpha \to 0\)

Требуется вычислить предел:

\(t \to 0 \ при\ x \to 1.\)

Для вычисления предела можно использовать справедливое равенство:

С помощью алгебраического тождества приведем уравнение:

Далее остается лишь вычислить предел:

По условию задачи дан предел, который необходимо найти:

С помощью эквивалентных выражений для бесконечно малых функций можно записать справедливое равенство:

Далее требуется записать предел в таком виде:

Затем следует выполнить замену:

\(1 — \cos x \sim \large\frac<<>><2>\normalsize\)

В итоге можно вычислить предел:

Необходимо вычислить предел:

В первую очередь следует выполнить замещение переменной:

\(t — a = y\;\;, \Rightarrow y \to 0 \ при\ t \to a\)

После замены можно записать предел через новую переменную, таким образом:

При замене функций косинуса и синуса на их эквивалентные бесконечно малые выражения, согласно формулам:

\(\cos y \sim 1 — \large\frac<<>><2>\normalsize, \sin y \sim y\)

Значение предела можно записать в таком виде:

Следует ограничиться использованием бесконечно малых первого порядка малости и пренебречь бесконечно малыми второго порядка:

Окончательный ответ будет записан, таким образом:

Примеры задач на бесконечно малые функции

В данном случае целесообразно использовать таблицу с эквивалентными функциями. Согласно представленным в ней данным:

4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними

Пусть f1 (x) и f 2 (x) бесконечно малые величины при , т.е.и.

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.17)

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

. (4.18)

3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая:

. (4.19)

Пусть ибесконечно большие величины при, т.е.и.

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.20)

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

(4.22)

Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины

Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

Пусть и, тогдаи.

Символически можно записать:

и

1) ;

2) ;

3) .

П р и м е ч а н и е. При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями:

.

17.Арифметическое свойство придела.

Арифметические свойства предела функции. Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ), кроме быть может точки x0. Если существует пределы

и ,

то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства :

a. б.

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей. 2. Если

,

то существует проколатая окрестность точки, где функция f ( x ) ограничена. Действительно, если взять = 1 0, то из существования конечного предела следует, что существует 0, что для всех x : 0 |x x0 | , выполняется | f ( x ) — A | 1, отсюда, | f ( x ) | — | A | |f ( x ) — A | 1, т.е.

,

то существует проколотая окрестность точки, что для всех x :

Действительно, возьмем 0, тогда из существования конечного предела, следует, что существует окрестность , что для всех x :

4. Свойства, связанные с неравенствами. Если

,

и для всех x : f ( x ) g ( x ) , то A B Если

= = A

и для всех x :,то существует

Доказательства этих свойств следуют из следующих свойств для сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне.

18. Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Первый замечательный предел имеет вид:

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

где, k – коэффициент.

Пояснение:

Следствия первого замечательного предела:

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или заменуэквивалентных бесконечно малых функций.

Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу сподробным оприсанием решения.

Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения. Комбинация синуса и его аргумента подсказывает нам о применении первого замечательного предела, но для этого сначала нужно немного преобразовать выражение. Домножим на и числитель и знаменатель дроби.

В силу следствия из первого замечательного предела , поэтому приходим к результату:

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Преобразуем числитель, используя формулы тригонометрии.

Стало видно, что здесь можно применить первый замечательный предел:

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Сделаем замену.

Пусть

, следовательно, при .

Тогда предел после замены переменной примет вид:

предел имеет вид:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *