Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней

Тест по теме "Статистическая оценка параметров распределения" 2 курс

Помогите пожалуйста с тестом.
Половину где-то сам сделал, не без помощи поисковиков конечно же, но в правильности сомневаюсь.

1)Известен доход по 4 фирмам x1=10, x2=15, x3=18, x4=12. Известна также средняя арифметическая по 5 фирмам, равная notX=15. Доход пятой фирмы равен:
а) 25
б) 10
в) 15
г) 20

2)Известен доход по 4 фирмам x1=14, x2=21, x3=16, x4=18. Известна также средняя арифметическая по 5 фирмам, равная notX=16. Доход пятой фирмы равен:
а) 11
б) 10
в) 15
г) 20

3)Известен доход по 4 фирмам x1=4, x2=8, x3=9, x4=6. Известна также средняя арифметическая по 5 фирмам, равная notX=7. Доход пятой фирмы равен:
а) 9
б) 4
в) 6
г) 8

4)Известен доход по 4 фирмам x1=3, x2=5, x3=4, x4=6. Известна также средняя арифметическая по 5 фирмам, равная notX=4. Доход пятой фирмы равен:
а) 7
б) 2
в) 5
г) 3

5)Известен доход по 4 фирмам x1=16, x2=13, x3=10, x4=20. Известна также средняя арифметическая по 5 фирмам, равная notX=15. Доход пятой фирмы равен:
а) 14
б) 12
в) 16
г) 20

6)Что является оценкой математического ожидания?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) исправленная выборочная дисперсия

7)Что является оценкой генеральной дисперсии?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) генеральная средняя

8)Что является несмещённой оценкой генеральной дисперсии?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) исправленная выборочная дисперсия

9)Каким моментом является выборочная дисперсия ?
а) центральным моментом 1-го порядка
б) начальным моментом 1-го порядка
в) начальным моментом 2-го порядка
г) центральным моментом 2-го порядка

10)Каким моментом является средняя арифметическая ?
а) центральным моментом 1-го порядка
б) начальным моментом 1-го порядка
в) начальным моментом 2-го порядка
г) центральным моментом 2-го порядка

11)Что является оценкой генеральной доли или вероятности?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) исправленная выборочная дисперсия

12)Если математическое ожидание оценки при любом объёме выборки равно самому оцениваемому параметру, то точечная оценка называется:
а) состоятельной
б) эффективной
в) несмещенной
г) все ответы верны

13)Если точечная оценка параметра при увеличении объёма выборки сходится по вероятности к самому оцениваемому параметру, то точечная оценка называется:
а) состоятельной
б) эффективной
в) несмещенной
г) все ответы верны

14)Точечную оценку называют эффективной, если она:
а) обладает минимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок
б) обладает максимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок
в) сходится по вероятности к оцениваемому параметру
г) нет правильного ответа

15) Чему равна сумма доверительной вероятности и уровня значимости?
а) 1
б) неотрицательному числу
в) 0
г) какому-то числу от 0 до 1

16)Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной средней?
а) нет
б) зависит от изучаемого явления
в) да
г) нет правильного ответа

17)Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной доли?
а) нет
б) зависит от изучаемого явления
в) да
г) нет правильного ответа

18)При построении доверительного интервала для генеральной дисперсии при малых объёмах выборки используют
а) распределение Пирсона
б) нормальный закон распределения
в) распределение Фишера-Снедекора
г) распределение Стьюдента

19)При построении доверительного интервала для генеральной дисперсии при больших объёмах выборки используют
а) распределение Пирсона
б) нормальный закон распределения
в) распределение Фишера-Снедекора
г) распределение Стьюдента

20)При построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности при больших объёмах выборки используют
а) распределение Пирсона
б) нормальный закон распределения
в) распределение Фишера-Снедекора
г) распределение Стьюдента

21)Выборочной совокупностью (выборкой) называют множество результатов, отобранных из генеральной совокупности:
а) по определенному критерию
б) по определённому правилу
в) случайно
г) нет правильного ответа

22)Выборка репрезентативна. Это означает, что:
а) она неправильно отражает пропорции генеральной совокупности
б) она правильно отражает пропорции генеральной совокупности
в) ее объем превышает 30 наблюдений
г) нет правильного ответа

23)Чем достигается репрезентативность выборки?
а) подбором наблюдений
б) случайностью отбора
в) объёмом
г) нет правильного ответа

24)Если случайная величина распределена по нормальному закону, то средняя арифметическая распределена:
а) по биномиальному закону
б) по нормальному закону
в) не имеет определённого закона распределения
г) по закону Пуассона

25)При интервальном оценивании математического ожидания при неизвестном значении генеральной дисперсии используют:
а) распределение Стьюдента
б) нормальное распределение
в) распределение Фишера-Снедекора
г) распределение Пирсона

26)При интервальном оценивании математического ожидания при известном значении генеральной дисперсии используют:
а) распределение Стьюдента
б) нормальное распределение
в) распределение Фишера-Снедекора
г) распределение Пирсона

27)Перечислите основные свойства точечных оценок:
а) несмещенность и эффективность
б) эффективность и состоятельность
в) несмещенность, эффективность и состоятельность
г) несмещенность и состоятельность

28)В теории статистического оценивания оценки бывают:
а) только интервальные
б) только точечные
в) точечные и интервальные
г) нет правильного ответа

29)Ширина доверительного интервала зависит от:
а) уровня значимости и числа наблюдений
б) уровня значимости
в) числа наблюдений
г) нет правильного ответа

30)От чего зависит число степеней свободы в распределении Стьюдента?
а) от доверительной вероятности
б) от объёма выборки
в) от доверительной вероятности и объёма выборки
г) от значения выборочной дисперсии

31)От чего зависит точность оценивания генеральной средней при построении доверительного интервала в случае неизвестной генеральной дисперсии?
а) от доверительной вероятности
б) от объёма выборки
в) от доверительной вероятности, выборочной дисперсии и объёма выборки
г) от доверительной вероятности, генеральной дисперсии и объёма выборки

32)От чего зависит точность оценивания генеральной средней при построении доверительного интервала в случае известной генеральной дисперсии?
а) от доверительной вероятности
б) от объёма выборки
в) от доверительной вероятности, выборочной дисперсии и объёма выборки
г) от доверительной вероятности, генеральной дисперсии и объёма выборки

33)От чего зависит точность оценивания генеральной доли или вероятности при построении доверительного интервала в случае большого объёма выборки?
а) от доверительной вероятности
б) от объёма выборки
в) от доверительной вероятности, частости и объёма выборки
г) от доверительной вероятности, выборочной дисперсии и объёма выборки

34)Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) исправленная выборочная дисперсия

35)Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности?
а) средняя арифметическая
б) выборочная дисперсия
в) частость (относительная частота)
г) исправленная выборочная дисперсия

36)Симметричный ли интервал строится при оценивании генеральной дисперсии?
а) нет
б) зависит от изучаемого явления
в) да
г) нет правильного ответа

37)При построении доверительного интервала для генеральной доли или вероятности при малых объёмах выборки используют
а) распределение Пирсона
б) нормальный закон распределения
в) формулу Бернулли
г) распределение Стьюдента

Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений или реализаций исследуемой случайной величины при данном реальном комплексе условий.

Выборкой называют часть генеральной совокупности, отобранную для изучения.

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат, поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшого объема п<10—20. В этом случае используемый обычно метод построения интервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического генеральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающих необходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств:

1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределения выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной предельной теореме при больших п;

2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дисперсии у 2 и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силу закона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишь при больших п [4].

Построение доверительного интервала для генеральной

средней по малой выборке.

Задача построения доверительного интервала для генеральной средней может быть решена, если в генеральной совокупности рассматриваемый признак имеет нормальное распределение.

Теорема. Если признак (случайная величина) X имеет нормальный закон распределения с параметрами , _x 2 = 2 , т.е. , то выборочная средняя при любом n имеет нормальный закон распределения

Если в случае больших выборок из любых генеральных совокупностей нормальность распределения обусловливалась суммированием большого числа одинаково распределенных случайных величин /n (теорема Ляпунова), то в случае малых выборок, полученных из нормальной генеральной совокупности, нормальность распределения вытекает из того, что распределение суммы (композиция) любого числа нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Формулы числовых характеристик для получены ранее.

Таким образом, если бы была известна генеральная дисперсия , то доверительный интервал можно было бы построить аналогично изложенному выше и при малых n. Заметим, что в этом случае нормированное отклонение выборочной средней имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1), т.е. нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице.

Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, получим, что

Однако на практике почти всегда генеральная дисперсия (как и оцениваемая генеральная средняя ) неизвестна. Если заменить ее «наилучшей» оценкой по выборке, а именно «исправленной» выборочной дисперсией , то большой интерес представляет распределение выборочной характеристики (статистики) или с учетом малой выборки, распределение статистики .

Представим статистику t в виде:

Числитель выражения (8) имеет стандартное нормальное распределение N(0; 1). Можно показать, что случайная величина имеет —распределение с н = n — 1 степенями свободы. Следовательно, статистика t имеет t—распределение Стьюдента с н=п — 1 степенями свободы. Указанное распределение не зависит от неизвестных параметров распределения случайной величины X, а зависит лишь от числа н, называемого числом степеней свободы.

Выше отмечено, что t-распределение Стьюдента напоминает нормальное распределение, и действительно при н >? как угодно близко приближается к нему.

Число степеней свободы к определяется как общее число n наблюдений (вариантов) случайной величины X минус число уравнений l, связывающих эти наблюдения, т.е. н = п — l.

Так, например, для распределения статистики число степеней свободы н = п — 1, ибо одна степень свободы «теряется» при определении выборочной средней (и наблюдений связаны одним уравнением ).

3ная t-распределение Стьюдента, можно найти такое критическое значение что вероятность того, что статистика не превзойдет величину (по абсолютной величине), равна:

Функция , где — плотность вероятности t-распределения Стьюдента при числе степеней свободы н табулирована. Эта функция аналогична функции Лапласа Ф(t), но в отличие от нее является функцией двух переменных — t и н = п-1. При н >? функция неограниченно приближается к функции Лапласа Ф(t)[4].

Формула доверительной вероятности для малой выборки может быть представлена в равносильном виде:

— предельная ошибка малой выборки. Доверительный интервал для генеральной средней, как и ранее, находится по формуле:

Пример 5. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч, а среднее квадратическое отклонение их срока службы — 18 ч. Необходимо определить: а) вероятность того, что средний срок службы ламп во всей партии отличается от среднего срока службы отобранных для испытаний ламп не более чем на 8 ч (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний срок службы ламп во всей партии.

Имеем по условию п = 20, = 980(ч), S = 18 ч.

а) Зная предельную ошибку малой выборки = 8 (ч), найдем из соотношения (9):

Теперь искомая доверительная вероятность

, а находится по таблице значений при числе степеней свободы = 16.

Итак, вероятность того, что расхождение средних сроков службы электроламп в выборке и во всей партии не превысит 8 ч (по абсолютной величине), равна 0,906.

б) Учитывая, что = 0,95 и t_0,95;16 =2,12, по (11) найдем предельную ошибку малой выборки (ч). Теперь по (12) искомый доверительный интервал или (ч), т.е. с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

Что является центром при построении доверительного интервала для генеральной средней?

А. Доверительной вероятности и средней выборочной;
Б. Моды и уровня значимости;
В. Доверительной вероятности и объема выборки;
Г. Генеральной средней и уровня значимости.

43. Дан ряд значений: 4, 5, 3, 4, 6, 4, 5, 6, 3. Чему равна относительная частота варианты 4?

А. относительная частота;

Б. выборочная дисперсия;

В. выборочная средняя;

Г. исправленная выборочная дисперсия.

45. Гистограммой относительных частот называют:

А. фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной D x, а высотами — отношения .

Б. ломанную линию, отрезки которой соединяют точки .

В. ломанную линию, отрезки которой соединяют точки .

Г. фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной D x, а высотами — отношения .

Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бес­повторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

Построение доверительного интервала для гeнеральной средней и гeнеральной доли по большим выборкам. Для построения доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей м.б. реализованы 2 подхода, основанных на знании точного (при данном объеме выборки n) или асимптотического (при n → ∞) распределения выборочных характеристик (или некоторых функций от них). Первый подход реализован далее при построении интервальных оценок параметров для малых выборок. В данном параграфе рассматривается второй подход, применимый для больших выборок (порядка сотен наблюдений).

Теорема. Вер-ть того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число Δ > 0 (по абсолютной величине), равна:

Где

,

Где .

Ф(t) — функция (интеграл вероятностей) Лапласа.

Формулы получили название формул доверительной вер-ти для средней и доли.

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной долисобственно-случайной выборки называетсясредней квадратической (стандартной) ошибкой выборки (для бесповторной выборки обозначаем соответственно и).

Следствие 1. При заданной доверительной вер-ти γ предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где Ф(t) = γ, т.е.

,

.

Следствие 2. Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли могут быть найдены по формулам:

,

.

Определение необходимого объема повторной и бесповтор­ной выборок при оценке генеральной средней и доли.

Для проведения выборочного наблюдения весьма важно правильно установить объем выборки n, к-ый в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты для определения n необходимо задать надежность (доверительную вер-ть) оценки γ и точность (предельную ошибку выборки) Δ.

Если найден объем повторной выборки n, то объем соответствующей бесповторной выборки n’ можно определить по формуле:

.

Т.к. , то при одних и тех же точности и надежности оценок объем бесповторной выборки n’ всегда меньше объема повторной выборки n.

Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Различают простую и сложную статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения СВ.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают Н₀. Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу H₁, являющуюся логическим отрицанием Н₀. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой 2 возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) , полученная по выборке, точное или приближенное распределение которой известно.

Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение — такое, что если гипотеза Н₀ верна, то вер-ть мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событиеможно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение, то гипотеза Н₀ отвергается, в то время как появление значения , считается совместимым с гипотезой Н₀, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза Н₀ отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.

Принцип практической уверенности:

Если вер-ть события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической д-ти вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

Т.о., множество возможных значений статистики — критерия (критической статистики) разбивается на 2 непересекающихся подмножества:критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение статистики критерияпопадает в критическую область W, то гипотезу Н₀ отвергают. При этом возможны четыре случая:

Определение. Вероятность α допустить ошибку l-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна, обычно обозначают β.

Определение. Вероятность (1-β) не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия.

Следует предпочесть ту критическую область, при которой мощность критерия будет наибольшей.