Что такое схлопывание волновой функции

Немного про особенности реализации Wave Function Collapse в нашей игре

В нашей прошлой игре The Unexpected Quest разработка уровня занимала около трех месяцев, включая оформление и синематики. Сейчас мы делаем тактическую стратегию Eternal Mist и в ней планируется более 100 уровней. Естественно они будут гораздо меньше и проще, но, даже если тратить на один уровень несколько дней, то разработка затянется на долгий срок. “Лучше день потерять, потом за пять минут долететь!” решили мы и принялись за работу над автоматической генерацией уровней. В итоге получилось вот так:

Я хочу сразу отметить, что мы не планируем динамическую генерацию уровней в самой игре. Поэтому, с одной стороны стало проще: меньше требований к устойчивости алгоритмов (в случае ошибки или неудовлетворительного результата всегда можно сгенерировать уровень заново) и их производительности. С другой стороны, дополнительные инструменты для разработчика: отладка и визуализация нехороших моментов, UI для редактора и т.п. Сейчас процесс работы над уровнем выглядит так:

Из названия статьи, понятно, что после изучения возможных вариантов мы остановились на алгоритме Wave Function Collapse. Он достаточно прост в реализации и при этом может выдавать очень интересные комбинации. Тем более, игра которой мы вдохновлялись (Bad North: Jotunn Edition), тоже использовала этот алгоритм для генерации уровней. В конце статьи я добавил ссылочку на лекцию ее создателя об алгоритме WFC. Кстати, на этом алгоритме базируется и его новая игра Townscaper.

Я не собираюсь подробно рассказывать о самом алгоритме, так как в сети, в том числе и на хабре, огромное количество материала по этой теме. Полезные ссылки я добавлю в конце этой статьи. Просто, напомню основной принцип работы:

уровень строится из тайлов,
каждый тайл — это визуальное представление и список тайлов для каждой стороны с которыми он может соседствовать,
все поле разбивается на слоты и в начале работы, каждый слот заполнен всеми возможными тайлами,
на каждом шаге выбирается один слот с наименьшей энтропией (если упрощенно, то с меньшим числом тайлов внутри) и “схлопывается” к одному тайлу,
из остальных слотов удаляются тайлы, которые не могут соседствовать со схлопнувшимся слотом или его соседями (та самая “волна”),
алгоритм повторяется, пока все слоты не схлопнуться или не возникнет ошибка.

Чтобы определить какой тайл может находится рядом, недостаточно обычного списка соседних тайлов. Просто потому, что с ростом числа тайлов эти списки будут тоже расти. Причем очень быстро и запутанно. Поэтому, вместо тайлов хранят грани. Этот список гораздо меньше и следить за ним проще. Так как тайлы могут поворачиваться, то еще нужно разработать соглашение о стыковке граней. В видео ниже (ссылка с привязкой ко времени), все подробно объяснено и мы у себя сделали также:

Помимо “белых списков” разрешенных тайлов (обсуждаемые выше списки граней), крайне рекомендуется завести “черный список” запрещенных тайлов. Уже без указания граней. А просто вида: с этой стороны тайл такой-то не может присоединится. Например, с точки зрения соединения граней пример ниже допустим, но визуально он выглядит неестественно.

Крайне рекомендуется сделать хоть какой-то дамп уже зарегистрированных граней и в каких тайлах они используются. Визуальный формат — это идеал, но даже текстовый формат будет очень полезен на поздних этапах разработки. Высший пилотаж, продумать систему граней так, чтобы их можно было сгенерировать автоматически, мы, к сожалению, до этого уровня не доросли. У нас все выглядит так:

И еще один важный момент по поводу граней и тайлов. Успешность алгоритма WFC и реалистичность генерируемых уровней в основном зависит от того, как вы реализуете тайлы и способы их стыковки. Мы только с третьей попытки, подобрали подходящий вариант. Основной нашей ошибкой было то, что мы всеми силами пытались сократить число возможных видов граней, что приводило к небольшому числу вариаций для алгоритма и, как следствие, некрасивым и нереалистичным результатам. На первых порах, лучше всего отталкиваться от набора тайлов из каких-нибудь примеров, результаты которых вам нравятся.

Производительность. Алгоритм медленный, с увеличением числа тайлов время работы существенно возрастает, и об оптимизации надо думать сразу. Мы думали сразу, что-то там кешировали и не попали совсем… Поэтому совет: оптимизировать надо именно тонкие места вашего алгоритма и на этапе разработки, вы о них скорее всего не знаете. В нашем случае помог внутренний профайлинг UE4 и всех подозрительных (все что вызывается в циклах) мест. То есть WFC_SCOPE_CYCLE_COUNTER пихали кругом и по всякому, а потом смотрели что больше всего жрет времени. Но точно надо обратить внимание на работу со списками граней и тайлов: объединение, пересечение и проверка содержит ли один список другой. Это будет вызываться много и часто.

Отладка ошибок. Подобрать набор тайлов, при котором алгоритм всегда сможет генерировать уровень, очень сложно. Для большого набора тайлов — нереально. Поэтому, на этапе разработки, крайне важно понимать почему уровень не смог сгенерироваться: какая комбинация тайлов привела к ошибке. У нас это выглядит вот так:

Красная сфера обозначает слот, в котором не осталось никаких тайлов и он не может “схлопнуться”. Чаще всего это связано с тем, что не хватает тайла, который бы соединил близлежащие слоты. Какие именно слоты надо соединить, выводится в лог внизу. В дополнение к этому в лог, выводится номер итерации, на которой произошла ошибка. А для детальной отладки, мы сделали возможность остановить алгоритм не только в любой момент итерации, но и на любом шаге волны, т.е. когда все соседние слоты обновляют списки возможных граней. Это панель справа. Без подобного функционала, будет крайне сложно подобрать работающий набор тайлов и мы рекомендуем озаботиться о нем сразу.

Если вы планируете игру с автоматической генерацией уровней, то в случае ошибки обязательно надо продумать систему генерации уровня заново (это может работать долго), либо систему откатов назад и продолжением генерации уровня, но с новыми случайными числами (это должно работать быстрее). К счастью, для наших задач это не понадобилось.

Начать стоит с этого видео: https://youtu.be/2SuvO4Gi7uY
Отличная лекция Oskar Stålberg об его игре Bad North и его реализации WFC: https://youtu.be/6JcFbivo8dQ
Статья о генерации бесконечных 3D уровней при помощи WFC:
https://marian42.de/article/wfc/
И ссылка на сам алгоритм для Unity:
https://github.com/marian42/wavefunctioncollapse
Для Unreal Engine есть готовые плагины, но я не уверен в их качестве:
https://www.unrealengine.com/marketplace/en-US/product/easy-level-generator
https://www.unrealengine.com/marketplace/en-US/product/procedural-environment-generator-wfc
Также в Unreal Engine 5 появился экспериментальный плагин WFC:
[UE5_FOLDER]\Engine\Plugins\Experimental\WaveFunctionCollapse
К сожалению, документации по нему я не нашел.
И немного ссылок с хабра:
Доступное объяснение алгоритма коллапса волновой функции
Разбираемся с алгоритмом коллапса волновой функции
Коллапс волновой функции: алгоритм, вдохновлённый квантовой механикой
Алгоритм размещения тайлов на основе ограничений

Нам будет очень приятно, если вы добавите нашу игру в вишлист и будете следить за проектом. С удовольствием ответим на ваши вопросы. Обещаем писать новые статьи, заметки и выкладывать интересные материалы об игре.

Коллапс волновой функции — Wave function collapse

В квантовой механике, коллапс волновой функции происходит, когда волновая функция — первоначально в суперпозиции нескольких собственных состояний — сводится к одному собственному состоянию из-за взаимодействия с внешним Мир. Это взаимодействие называется «наблюдением». Это суть измерения в квантовой механике, которое связывает волновую функцию с классическими наблюдаемыми, такими как положение и импульс. Коллапс — это один из двух процессов, посредством которых квантовые системы развиваются во времени; другой — это непрерывная эволюция с помощью уравнения Шредингера. Коллапс — это черный ящик для термодинамически необратимого взаимодействия с классической средой. Расчеты квантовой декогеренции показывают, что когда квантовая система взаимодействует с окружающей средой, суперпозиции, по-видимому, сводятся к смесям классических альтернатив. Примечательно, что комбинированная волновая функция системы и окружающей среды продолжает подчиняться уравнению Шредингера. Что еще более важно, этого недостаточно для объяснения коллапса волновой функции, поскольку декогеренция не сводит его к одному собственному состоянию.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею редукции волновой функции для объяснения квантовое измерение. Однако, если бы коллапс был фундаментальным физическим явлением, а не просто эпифеноменом какого-то другого процесса, это означало бы, что природа принципиально стохастическая, т.е. недетерминированная, нежелательное свойство для теории.

Содержание

1 Математическое описание
- 1.1 Математические основы
- 1.2 Процесс коллапса
- 1.3 Квантовая декогеренция
Математическое описание

До коллапса волновая функция может быть любой интегрируемой с квадратом функция. Эта функция выражается как линейная комбинация собственных состояний любой наблюдаемой. Наблюдаемые представляют собой классические динамические переменные, и когда одна из них измеряется классическим наблюдателем, волновая функция проецируется на случайное собственное состояние этой наблюдаемой. Наблюдатель одновременно измеряет классическое значение этой наблюдаемой как собственное значение конечного состояния.

Математический фон

квантовое состояние физическая система описывается волновой функцией (в свою очередь — элементом проективного гильбертова пространства ). Это может быть выражено как вектор с использованием Дирака или брэкетной нотации :

Кеты | ϕ 1⟩, | ϕ 2⟩, | ϕ 3⟩ ⋯ <\ displaystyle | \ phi _ <1>\ rangle, | \ phi _ <2>\ rangle, | \ phi _ <3>\ rangle \ cdots> , укажите другой квант доступные «альтернативы» — конкретное квантовое состояние. Они образуют ортонормальный собственный вектор базис, формально

Наблюдаемый (т.е. измеримый параметр системы) связан с каждым собственным базисом, причем каждая квантовая альтернатива имеет конкретное значение или собственное значение, e i наблюдаемого. «Измеримым параметром системы» может быть обычное положение r и импульс p (скажем) частицы, а также ее энергия E, z компоненты спина (s z), орбитальный (L z) и полный угловой (J z) импульсы и т.д. В базисном представлении это соответственно | r, t⟩ = | x, t⟩ + | y, t⟩ + | z, t⟩, | p, t⟩ = | p x, t⟩ + | p y, t⟩ + | p z, t⟩, | E⟩, | с z⟩, | L z⟩, | J z⟩, ⋯ <\ displaystyle | \ mathbf , t \ rangle = | x, t \ rangle + | y, t \ rangle + | z, t \ rangle, | \ mathbf

, t \ rangle = | p_ , t \ rangle + | p_ , t \ rangle + | p_ , t \ rangle, | E \ rangle, | s_ \ rangle, | L_ \ rangle, | J_ \ rangle, \ cdots> .

Коэффициенты c 1, c 2, c 3. являются амплитуды вероятностей, соответствующие каждому базису | ϕ 1⟩, | ϕ 2⟩, | ϕ 3⟩ ⋯ <\ displaystyle | \ phi _ <1>\ rangle, | \ phi _ <2>\ rangle, | \ phi _ <3>\ rangle \ cdots> . Это комплексные числа. квадрат модулей для c i, то есть | c i | = c i*ci(* обозначает комплексно-сопряженное ), это вероятность того, что система будет находиться в состоянии | ϕ я⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> .

Для простоты изложения все волновые функции предполагаются нормализованными ; полная вероятность измерения всех возможных состояний равна единице:

Процесс коллапса

С помощью этих определений легко описать процесс коллапса. Для любой наблюдаемой волновая функция изначально является некоторой линейной комбинацией собственного базиса <| ϕ я⟩> <\ displaystyle \ <| \ phi _ \ rangle \>> этой наблюдаемой. Когда внешнее агентство (наблюдатель, экспериментатор) измеряет наблюдаемую, связанную с собственным основанием <| ϕ i⟩> <\ displaystyle \ <| \ phi _ \ rangle \>> , волновая функция схлопывается из полного | ψ⟩ <\ displaystyle | \ psi \ rangle>только до одного из базовых собственных состояний, | ϕ я⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> , то есть:

Вероятность перехода к заданному собственному состоянию | ϕ k⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> — вероятность рождения, P k = | c k | 2 <\ Displaystyle P_ = | c_ | ^ <2>> . Сразу после измерения другие элементы вектора волновой функции, c i ≠ k <\ displaystyle c_ > , «схлопываются» до нуля, и | c i | 2 = 1 <\ displaystyle | c_ | ^ <2>= 1> .

В более общем смысле коллапс определяется для оператора Q ^ <\ displaystyle <\ hat >> с собственным базисом <| ϕ я⟩> <\ displaystyle \ <| \ phi _ \ rangle \>> . Если система находится в состоянии | ψ⟩ <\ displaystyle | \ psi \ rangle>и Q ^ <\ displaystyle <\ hat >> измеряется вероятность разрушения системы в собственное состояние | ϕ я⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> (и измерение собственного значения qi <\ displaystyle q_ > of | ϕ я⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> относительно Q ^ <\ displaystyle <\ hat >> ) будет | ⟨Ψ | ϕ i⟩ | 2 <\ displaystyle | \ langle \ psi | \ phi _ \ rangle | ^ <2>> . Обратите внимание, что это не вероятность того, что частица находится в состоянии | ϕ я⟩ <\ displaystyle | \ phi _ \ rangle> ; находится в состоянии | ψ⟩ <\ displaystyle | \ psi \ rangle>до преобразования в собственное состояние Q ^ <\ displaystyle <\ hat >> .

Однако мы никогда не наблюдаем коллапса в единственное собственное состояние оператора непрерывного спектра (например, положение, импульс или рассеяние гамильтониан ), поскольку такие собственные функции не являются нормализуемый. В этих случаях волновая функция будет частично коллапсировать до линейной комбинации «близких» собственных состояний (обязательно включающей разброс собственных значений), которая воплощает неточность измерительного устройства. Чем точнее измерение, тем меньше диапазон. Расчет вероятности выполняется идентично, за исключением интеграла по коэффициенту расширения c (q, t) d q <\ displaystyle c (q, t) dq>. Это явление не связано с принципом неопределенности, хотя все более точные измерения одного оператора (например, положения) естественным образом гомогенизируют коэффициент разложения волновой функции по отношению к другому, несовместимому оператору (например, импульс), что снижает вероятность измерения какого-либо конкретного значения последнего.

Квантовая декогеренция

Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние, бессвязное сочетание классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку объединенное состояние системы и окружающей среды все еще остается чистым, но для всех практических целей необратимым, поскольку окружающая среда является очень большой и сложной квантовой системой, и обратить их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них.

История и контекст

Концепция коллапса волновой функции была введена Вернером Гейзенбергом в его статье 1927 года о принципе неопределенности, «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik «, и включен в математическую формулировку квантовой механики Джоном фон Нейманом в его трактате 1932 года Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Гейзенберг не пытался точно указать, что означает коллапс волновой функции. Он, однако, подчеркнул, что это не следует понимать как физический процесс. Нильс Бор также неоднократно предупреждал, что мы должны отказаться от «графического изображения». Основатели Копенгагенской интерпретации предпочитали подчеркивать математический формализм происходящего.

В соответствии с Гейзенбергом, фон Нейман постулировал, что существует два процесса изменения волновой функции:

, не унитарный, не- локальное, прерывистое изменение, вызванное наблюдением и измерением, как указано выше. , унитарное, непрерывное изменение во времени изолированной системы, которая подчиняется уравнению Шредингера (или релятивистскому эквиваленту, то есть уравнению Дирака ).

В общем, квантовые системы существуют в суперпозициях тех базисных состояний, которые наиболее точно соответствуют классическим описаниям и, в отсутствие измерения, эволюционируют в соответствии с уравнением Шредингера. Однако, когда измерение производится, волновая функция коллапсирует — с точки зрения наблюдателя — только до одного из базовых состояний, и измеряемое свойство уникальным образом получает собственное значение этого конкретного состояния, λ i <\ displaystyle \ lambda _ > . После коллапса система снова эволюционирует согласно уравнению Шредингера.

Явно имея дело с взаимодействием объекта и измерительного прибора, фон Нейман попытался создать согласованность двух процессов изменения волновой функции.

Он смог доказать возможность квантово-механической схемы измерения, совместимой с коллапсом волновой функции. Однако он не доказал необходимость такого обвала. Хотя проекционный постулат фон Неймана часто представляется как нормативное описание квантового измерения, он был задуман с учетом экспериментальных данных, имеющихся в 1930-х годах (в частности, эксперимент Комптона-Саймона был парадигматическим), но многие важные современные методы измерения не удовлетворяют его (так называемые измерения второго рода).

Наличие коллапса волновой функции требуется в

С другой стороны, коллапс считается избыточным или необязательным приближением в

подходе согласованных историй, самопровозглашенном «Копенгаген, сделанный правильно»

Описание кластера явлений Упомянутый выражением коллапс волновой функции является фундаментальной проблемой в интерпретации квантовой механики и известен как проблема измерения. Проблема отклоняется Копенгагенской интерпретацией, которая постулирует, что это особая характеристика процесса «измерения». многомировая интерпретация Эверетта имеет дело с этим, отбрасывая процесс коллапса, таким образом переформулируя отношения между измерительным прибором и системой таким образом, чтобы линейные законы квантовой механики были универсально действительный; то есть единственный процесс, в соответствии с которым развивается квантовая система, регулируется уравнением Шредингера или некоторым релятивистским эквивалентом.

Происходящий из теории де Бройля-Бома, но уже не связанный с ней, является физический процесс декогеренции, который вызывает очевидный коллапс. Декогеренция также важна для последовательной интерпретации историй. Общее описание эволюции квантово-механических систем возможно с помощью операторов плотности и квантовых операций. В этом формализме (который тесно связан с C * -алгебраическим формализмом) коллапс волновой функции соответствует неунитарной квантовой операции.

Значение, приписываемое волновой функции, варьируется от интерпретации к интерпретации и меняется даже в пределах интерпретации (такой как Копенгагенская интерпретация). Если волновая функция просто кодирует знания наблюдателя о Вселенной, тогда коллапс волновой функции соответствует получению новой информации. Это несколько аналогично ситуации в классической физике, за исключением того, что классическая «волновая функция» не обязательно подчиняется волновому уравнению. Если волновая функция в некотором смысле и в некоторой степени физически реальна, то коллапс волновой функции также рассматривается как реальный процесс в той же степени.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Цитаты, связанные с коллапсом волновой функции в Wikiquote

Доступное объяснение алгоритма коллапса волновой функции

Алгоритм коллапса волновой функции (Wavefunction Collapse Algorithm) учит компьютер импровизировать. На входе он получает архетипичные данные и создаёт процедурно генерируемые данные, похожие на исходные.

Чаще всего он используется для создания изображений, но может также строить города, скейтпарки и писать ужасные стихи.

Коллапс волновой функции — это очень независимо мыслящий алгоритм, не требующий практически никакой помощи или инструкций извне. Вам нужен только пример стиля, которого нужно достичь, а всё остальное он сделает сам. Несмотря на свою самодостаточность, он на удивление прост. Он не использует никаких нейронных сетей, случайных лесов или чего-то другого, похожего на машинное обучение. Если разобраться с идеей, он станет для вас очень понятным и интуитивным.

Большинство реализаций и объяснений коллапса волновой функции — это полная, оптимизированная по скорости версия алгоритма. Разумеется, все они важны и необходимы, но в них сложно разобраться с нуля. В этом посте я буду объяснять всё понятным я простым языком, сосредоточившись на версии Wavefunction с ограничениями, которую я назвал Even Simpler Tiled Model. Кроме того, я выложил пример реализации ESTM на Github. Код в нём неэффективный и медленный, но очень хорошо читаемый и подробно прокомментирован. Как только вы разберётесь в технологии, лежащей в основе ESTM, то станете ближе к пониманию более сложных версий алгоритма. Если хотите понять алгоритм коллапса волновой функции, то эта статья будет хорошим началом.

Давайте начнём с истории.

Свадьба

Представьте, что вы планируете свою свадьбу. Кроме подбора украшений и музыки вам нужно создать план рассаживания гостей для обеда. Ваша семья любит поспорить и капризничать, поэтому это может оказаться сложным. Отец не может сидеть ближе чем в двух столах от матери. Двоюродной сестре становится одиноко, если она не сидит с другой двоюродной сестрой. А дядю Роя лучше не сажать рядом с экологически настроенными членами семьи вашего партнёра. Осталось всего 5 часов до прибытия еды, поэтому вы решаете атаковать эту упрямую задачу при помощи алгоритма коллапса волновой функции.

Вы начинаете с длинного списка правил и пустого плана рассаживания гостей.

Вы создаёте исходную волновую функцию плана. Она привязывает каждый стул к списку людей, которые на нём могут сидеть. Пока на любой стул может сесть любой человек. Волновая функция рассаживания гостей начинается с полной суперпозиции (понятие заимствовано из квантовой физики) каждой возможной схемы.

Кот Шрёдингера был одновременно мёртвым и живым, пока кто-нибудь не откроет ящик и не проверит; ваш план одновременно является каждой возможной схемой, пока вы не наведёте в нём порядок. Полная суперпозиция — полезная теоретическая конструкция, но она не поможет вашей бабушке разобраться, где ей нужно сидеть. Вам нужно привести волновую функцию расположения гостей к единственному определённому состоянию, которую потом можно превратить в обычные, неквантовые карточки с именами.

Начинаем мы это делать, выполняя коллапс волновой функции для одного стула. Выбираем стул, смотрим на список людей, которые могут на нём сидеть, и случайным образом назначаем его одному из них. При этом волновая функция стула становится коллапсированной.

Этот выбор имеет последствия, распространяющиеся на волновые функции остальных стульев. Если дядя Рой будет сидеть за столом 2, то кузен Фрэнк и Мишель Обама (друг семьи вашего партнёра) точно не будут рядом с ним. А если Мишель не сядет за стол 2, то Барака за ним тоже не будет. Мы обновляем волновую функцию плана расположения, вычёркивая людей из списков возможных кандидатов.

Как только колебания устоятся, мы повторяем этот процесс. Выбираем ещё один стул с несколькими возможными кандидатами и коллапсируем его волновую функцию, случайным образом выбирая одного из допустимых для него людей. Снова распространяем колебания, вызванные этим выбором, на весь остальной план, удаляя из волновой функции стула людей, если они больше не могут на нём сидеть.

Мы повторяем этот процесс или пока волновая функция не коллапсирует (то есть в ней не останется ровно 1 сидящий человек), или пока мы не достигнем противоречия. Противоречие — это стул, на котором не может сидеть никто, потому что всех их исключили из-за предыдущих выборов. Противоречие делает невозможность коллапс всей волновой функции.

Если вы достигли противоречия, то проще всего будет начать сначала. Отбросить всю предыдущую работу, найти новый пустой план и запустить алгоритм заново, выполнив коллапс волновой функции для другого случайного стула. Можно также реализовать систему возврата назад, позволяющую отменять отдельный выбор, а не отказываться сразу от всего («что если пересадить Шейлу на стул 54?»).

После нескольких фальстартов вы наконец достигнете полностью коллапсированного состояния, в котором каждый стул назначен ровно одному человеку и соблюдены все правила. Готово!

От свадьбы к битовым картам

Это не теоретический пример. Вы действительно можете реализовать вариант коллапса волновой функции, который будет создавать план рассаживания гостей для свадьбы. Однако в более традиционном Wavefunction Collapse мы обычно пытаемся не рассадить людей на свадьбе, а расставить пиксели на выходящем изображении. Тем не менее, процесс будет очень похожим. Мы обучаем алгоритм набору правил, которым должны удовлетворять выходные данные. Инициализируем волновую функцию. Выполняем коллапс одного элемента и распространяем последствия на остальную часть волновой функции. И продолжаем так делать, или пока волновая функция полностью не коллапсирует, или пока мы не достигнем противоречия.

Традиционный коллапс волновой функции отличается от свадебного коллапса тем, как мы обучаем алгоритм правилам, которые он должен соблюдать. В свадебной версии нам пришлось записывать правила самостоятельно. Но в традиционной версии мы просто даём алгоритму изображение-пример, и исходя из него алгоритм создаёт всё остальное. Он парсит пример, анализирует его паттерны и выясняет, как должны выстраиваться пиксели или тайлы.

Давайте начнём исследование реального коллапса волновой функции с рассмотрения простого особого случая, который ExUtumno (создатель алгоритма) называет простой тайловой моделью (Simple Tiled Model).

Simple Tiled Model

В модели Simple Tiled Model входящие и выходящие изображения строятся из небольшого количества заранее определённых тайлов, и каждый квадрат в выходящем изображении ограничивается только его четырьмя ближайшими соседями. Например, предположим, что мы генерируем случайные миры для двухмерной игры с видом сверху. У нас могут быть тайлы для суши, побережья и моря, а также набор правил вида «побережье может находиться рядом с морем», «суша может быть рядом с побережьем» и «море может быть рядом с другим морем».

Simple Tiled Model учитывает симметрию и поворот своих тайлов. Например, суша может находиться рядом с побережьем, но только в правильной ориентации.

Эта обработка симметрии обеспечивает более качественные выходные изображения, но усложняет код. Чтобы не усложнять, давайте рассмотрим ещё более простой вид коллапса волновой функции, который я назвал Even Simpler Tiled Model.

Even Simpler Tiled Model

Even Simpler Tiled Model («ещё более простая тайловая модель») похожа на Simple Tiled Model, но её тайлы не имеют свойств симметрии. Каждый тайл — это один пиксель одного цвета, то есть мы никак не сможем перепутать их края.

Правила Even Simpler Tiled Model определяют, какие тайлы можно размещать рядом друг с другом и в какой ориентации. Каждое правило представляет собой кортеж из трёх элементов (3-tuple): двух тайлов и направления. Например, (SEA, COAST, LEFT) означает, что тайл SEA (море) может размещаться СЛЕВА от тайла COAST (побережье). Это правило должно сопровождаться другим правилом, описывающим ситуацию с точки зрения COAST — (COAST, SEA, RIGHT) .

Если вы хотите, чтобы тайлы SEA могли располагаться не только СЛЕВА , но и СПРАВА от тайлов COAST . то им нужны дополнительные правила: (SEA, COAST, RIGHT) и (COAST, SEA, LEFT) .

Как я сказал выше, нам не нужно создавать список всех этих правил самостоятельно. Коллапс волновой функции может создать набор правил для Even Simpler Tile Model парсингом изображения-примера и собиранием списка всех 3-tuple, которые в нём содержатся.

Исследовав показанный выше пример изображения, Even Simpler Tiled Model замечает, что тайлы моря могут быть только под или сбоку от тайлов побережья, или в любом месте рядом с другими тайлами моря. Также она замечает, что тайлы побережья могут располагаться рядом с сушей, морем или другими тайлами побережья, но только над тайлами моря и под тайлами суши. Она не пытается вывести никакие более сложные правила, например «тайлы моря должны быть рядом по крайней мере с одним тайлом моря» или «каждый остров должен содержать как минимум один тайл суши». Ни один из тайлов не может влиять на то, что какие-то типы тайлов могут или не могут располагаться в двух или более квадратах от них. Это похоже на модель плана свадьбы, в которой единственное правило: «X может сидеть рядом с Y».

При анализе входящего изображения нам также нужно записывать частоту, с которой встречается каждый из тайлов. Позже мы используем эти числа как веса при выборе волновой функции квадрата, коллапс которой нужно выполнить, а также при выборе тайла, назначаемого квадрату при его коллапсировании.

Узнав правила, которых должно придерживаться выходящее изображение, мы готовы к построению коллапсированию волновой функции выходящего изображения.

Коллапс

Как и в примере со свадьбой, мы начинаем процесс коллапсированя с волновой функции, в которой каждый квадрат выходящего изображения находится в суперпозиции каждого типа тайла.

Начнём с выбора квадрата, волновую функцию которого будем коллапсировать. В примере со свадьбой этот выбор делался случайно. Однако, как заметил ExUtumno , люди обычно подходят к таким задачам иначе. Вместо этого они ищут квадраты с наименьшей энтропией. Энтропия — это мера неопределённости и беспорядка. В общем случае квадрат с высокой энтропией — это квадрат со множеством возможных тайлов, оставшихся в его волновой функции. Пока очень непонятно, к какому тайлу он в конечном итоге коллапсирует. Квадрат с низкой энтропией — это квадрат с малым количеством возможных тайлов в волновой функции. Набор тайлов, к одному из которых он в результате коллапсирует, уже очень ограничен.

Например, в модели Even Simpler Tile Model квадрат без информации об окружающих его квадратах ничем не ограничен и может стать любым тайлом. Следовательно, он имеет очень высокую энтропию. Но квадрат, вокруг которого уже коллапсировало несколько квадратов, может иметь на выбор всего 2 тайла.

Волновая функция центрального квадрата на рисунке выше не полностью коллапсировала, но мы уже знаем, что она не может быть тайлом суши. Тем не менее, она уже ограничена, а значит, имеет энтропию ниже, чем у правого верхнего квадрата, который всё ещё может быть сушей, морем или побережьем.

Именно на такие ограниченные тайлы с низкой энтропией обычно и обращают внимание люди, когда вручную решают подобные задачи. Даже если вы не пользуетесь коллапсом волновой функции для создания плана размещения гостей на свадьбе и будете составлять его самостоятельно, то всё равно сосредоточитесь на тех областях плана, в которых уже есть наибольшее количество ограничений. Вы не будете сажать Дуэйна за стол 1, а затем случайным образом перепрыгивать, чтобы посадить Кэти за стол 7 (который пока пуст). Вы сначала посадите Дуэйна, потом разберётесь, кто может сидеть рядом с ним, затем кто может сидеть рядом с этим человеком, и так далее. Я пока не видел обоснований этого, но моя интуиция говорит, что при использовании этой эвристики минимальной энтропии скорее всего будет получаться меньше противоречий, чем при случайном выборе квадратов для коллапсирования.

В качестве формулы энтропии в алгоритме коллапса волновой функции применяется формула Шеннона. В ней используются веса тайлов, которые мы спарсили из входящего изображения на предыдущем этапе:

Вычислив квадрат волновой функции с наименьшей энтропией, мы коллапсируем её волновую функцию. Мы делаем это, случайным образом выбирая один из тайлов, пока ещё доступных для квадрата, взвешенный на веса тайлов, которые мы спарсили из входящего изображения. Веса используются потому, что это обеспечивает более реалистичное изображение на выходе. Допустим, волновая функция квадрата сообщает, что он может быть сушей или побережьем. Мы не всегда должны выбирать один из вариантов с вероятностью 50%. Если во входящем изображении больше тайлов суши, чем побережья, то нам стоит отразить этот перевес и в выходном изображении. Реализуется это при помощи простых глобальных весов. Если в примере изображения есть 20 тайлов суши и 10 тайлов побережья, то квадрат коллапсирует в сушу с вероятностью 2/3 , а в побережье — с оставшейся вероятностью 1/3 .

Затем мы распространяем последствия выбора на остальную волновую функцию выходных данных («если тот тайл оказался морем, то этот не может быть сушей, то есть этот не может быть побережьем»). Когда все эти сотрясения улягутся, мы повторяем процесс, используя эвристику минимальной энтропии для выбора следующего коллапсирующего тайла. Повторяем этот цикл коллапсирования-распространения, или пока вся волновая функция выходного изображения полностью не коллапсирует и мы сможем вернуть результат, или пока мы не достигнем противоречения и вернём ошибку.

В итоге мы создали мир (или ошибку).

Куда двигаться дальше

Разобравшись с моделью Even Simpler Tiled Model, вы готовы подниматься выше по лестнице мощности и сложности алгоритма. Начните с Simple Tiled Model, которую мы упоминали в начале этого поста, затем перейдите к полной Overlapping Model. В Overlapping Model тайлы или пиксели влияют друг на друга издалека. Если вы понимаете в таких вещах, то ExUtumno замечает, что Simple Tiled Model схожа с цепью Маркова порядка-1, а более сложные модели напоминают цепи большего порядка.

Wavefunction Collapse даже может учитывать дополнительные ограничения, например «этот тайл должен быть морем» или «этот пиксель должен быть красным» или «в выходных данных может быть только один монстр». Обо всё этом рассказывается README основного проекта. Также можно изучить оптимизации скорости, внесённые в полную реализацию. Необязательно повторно вычислять энторпию каждого квадрата в каждой итерации, а распространение информации по волновой функции можно сделать значительно быстрее. Эти аспекты становятся важнее при увеличении размеров выходящих изображений.

Коллапс волновой функции — это красивый и мощный инструмент, который стоит освоить. Вспомните об этом, когда в следующий раз будете планировать свадьбу или генерировать процедурный мир.

Запутывание, нарушение симметрии и коллапс:
соответствия между квантовой динамикой и динамикой самоорганизующихся систем

Аннотация: Квантовые явления, как известно, сложны для понимания. Настоящая статья сначала рассматривает наиболее важные квантовые понятия с не-технической стороны: суперпозиция, неопределенность, коллапс волновой функции, запутывание и нелокальность. Затем она пытается прояснить эти концепции, исследуя их аналоги в сложных, самоорганизующихся системах. К ним относятся бифуркации, аттракторы, эмерджентные ограничения (emergent constraints), параметры порядка и нелокальные корреляции. Они иллюстрируются конкретными примерами, которые включают конвекцию Рэлея-Бенара, социальную самоорганизацию и гештальт-восприятие двойственных изображений. В обоих случаях, квантовом и самоорганизующимся, ключевым процессом, по-видимому, является нарушением симметрии, которое необратимо и непредсказуемо «сворачивает» неопределенное состояние системы в одно из нескольких первоначально эквивалентных «собственных состояний» (eigenstates) или «аттракторов». Предложены некоторые предположения о нелинейном усилении квантовых флуктуаций вакуума, в конечном счете ответственных за такое нарушение симметрии.

Ключевые слова: квантовые процессы, самоорганизация, запутывание, коллапс волновой функции, нарушение симметрии, бифуркация

1. Введение.
Квантовая механика — это теория, известная тем, что описываемые ею явления весьма контринтуитивны. Для нас особенно сложно представить происходящее в ней из-за того, что эти явления принадлежат микромиру, который мы никогда не сможем воспринять нашими чувствами. Более того, их описание использует весьма абстрактный математический формализм (операторы в гильбертовых пространствах), который не имеет четкого аналога в других, более интуитивных теориях физического мира. Тем не менее, мы смогли бы лучше понять эти квантовые явления, если бы нашли их аналоги в макромире, в котором мы живем. Одним из недавно разработанных примеров такого подхода является квантовое познание (Aerts, 2009; Bruza, Wang, & Busemeyer, 2015): установление соответствия между когнитивными процессами в нашем мозге и квантовыми механизмами. Но мозг — чрезвычайно сложная система, которую мы пока не слишком хорошо понимаем. Поэтому пока неясно, насколько видимое сходство между когнитивными и квантовыми структурами поможет нам пролить свет на то и другое.

В настоящей статье предлагается рассмотреть аналогию между квантовыми системами и системами, которые все еще сложны, но не настолько сложны, как мозг, и к которым мы имеем более прямой доступ, как эмпирически, так и теоретически. Я имею в виду то, что известно как сложные системы, сложные адаптивные системы или самоорганизующиеся системы (Ball, 2012; Heylighen, 2009). Это системы, которые состоят из многих взаимодействующих компонентов, которые обычно моделируются как «агенты», которые распределены в пространстве. Агентами могут быть молекулы, люди, насекомые или нейроны. Локальные взаимодействия между агентами обычно приводят к глобальному скоординированному поведению, о чем свидетельствует движение птиц в рое, муравьев в колонии или рыбы в мелководье. Такое появление порядка или согласованности называется самоорганизацией (Ashby, 1962; Haken, 1977; Heylighen, 2001). Это нелинейный процесс, который имеет тенденцию усиливать крошечные флуктуации в макроскопические различия. В результате такие сложные процессы, как правило, непредсказуемы и трудны для контроля — свойство, которое они разделяют с квантовыми системами. Но, как я раскрою в оставшейся части этой статьи, сходства идут гораздо глубже.

Вначале я кратко рассмотрю наиболее характерные и плохо понимаемые концепции квантовой механики, такие как нелокальность, запутывание и коллапс волновой функции не-техническим образом. Затем я рассмотрю связанные понятия в теории сложных систем. Используя примеры, я постараюсь установить соответствие между каждой из основных квантовых концепций и ее эквивалентом в сложных системах. Наконец, я сделаю несколько предложений о том, как это соответствие может помочь нам понять контринтуитивные аспекты квантовой теории.

2. Основные квантовые концепции
Вероятно, самое фундаментальное различие между квантовой теорией и классической теорией какой-либо физической системы состоит в том, что квантовая модель подчиняется принципу суперпозиции (Dirac, 1981; Heylighen, 1990). Это означает, что для любых двух состояний a и b системы, которую можно выделить, существует некоторое третье состояние a + b, называемое суперпозицией a и b. Это состояние суперпозиции обладает свойствами, которые каким-то образом объединяют свойства a с свойствами b. Другими словами, это состояние не находится между a и b, это каким-то образом как a, так и b. Например, предположим, что возможными состояниями вашей системы являются |черный> и |белый>. Традиционно вы можете ожидать, что существует отдельное состояние «посередине», такое как |cерый>. Но в квантовой теории в таком случае всегда будет состояние суперпозиции |черный> + |белый>, которое иногда будет казаться черным, а иногда и белым, но никогда серым.

Название «суперпозиция» происходит от представления квантовых состояний как волновых функций. Так, квантовые системы рассматриваются как волны, распространяющиеся по пространству с разной интенсивностью (в конечном счете определяющие вероятности нахождения системы) в разных положениях. Наложение двух волн означает, что вы добавляете интенсивности для каждой из позиций, чтобы получить общую интенсивность объединенной волны для этой позиции. Если бы одна волна имела бы ненулевую интенсивность только в области a (что означает, что вероятность ее нахождения вне этой области равна нулю), а другая в области b, то наложенная волна будет присутствовать как в a, так и в b, но более нигде — независимо от того, насколько далеко расположены эти два региона. Это означает, что частица в определенном смысле распределена по этим двум регионам, как бы находясь в обоих одновременно.

Эта операция сложения волновых функций прямо обобщается на сложение векторов, которые формируют эквивалентное математическое представление квантовых состояний. Тогда принцип суперпозиции может быть выражен тем фактом, что множество всех состояний квантовой системы определяет конкретный тип векторного пространства, называемый «гильбертовым пространством». Это означает, что любая линейная комбинация состояний (векторов) определяет другое возможное состояние (вектор) в пространстве состояний системы. Тем не менее нам не нужен формализм пространства Гильберта, чтобы понять основное понятие суперпозиции: для любых двух разных состояний системы существует по крайней мере одно другое состояние, которое не является ни тем, ни другим, но которое каким-то образом обладает свойствами и того и другого. Эта амбивалентность создает внутреннюю неопределенность в основе любой квантовой теории.

Но как что-то может быть черным и белым одновременно? В конечном счете двусмысленность разрешается процессом наблюдения. Когда выполняется эксперимент, чтобы определить, какой цвет системы, результатом может быть только один из цветов. Это означает, что состояние суперпозиции черный + белый даст либо результат «белый», либо результат «черный». Однако мы не можем заранее предсказать, каким именно результат будет. Это подводит нас к еще одной ключевой черте квантовой теории: неопределенности. Состояние, в котором свойство, подлежащее наблюдению, имеет определенное значение, называется «собственным состоянием» наблюдаемого свойства. Если система не находится в состоянии суперпозиции, но в таком собственном состоянии (например, она находится в состоянии черного), тогда вероятность результата черного будет равна 1. Однако, поскольку существует гораздо больше суперпозиций, чем собственных состояний, в самом общем случае, квантовая система будет находиться в состоянии суперпозиции в отношении того свойства, которое мы хотим определить. Тем самым, мы не можем сказать, какой результат будет производить наблюдение. Учитывая конкретную форму векторной или волновой функции, мы можем только лишь вычислить вероятности различных результатов.

С другой стороны, если наблюдение повторяется, результат не изменится: черный остается черным. Это объясняется в квантовом формализме проекционным постулатом. Вектор черный + белый не ортогонален ни черному вектору, ни белому вектору. Когда наблюдение сделано, оно каким-то образом проецируется на один из его отогональных компонентных векторов, собственного состояния — белого или черного. После проецирования, скажем, на “черный”, состояние фактически становится идентичным тому, на которое оно было спроецировано (поскольку состояние зависит только от направления вектора, а не от его длины). Так что теперь он на 100% черный, без неопределенности.

Этот процесс традиционно называют коллапсом волновой функции. Предположим, что волновая функция (представляющая собой состояние, эквивалентное векторному представлению) распределена по двум отдельным областям, одна соответствует черному, от одного до белого. Выполнение операции наблюдения заставляет волну выбрать один из двух возможных исходов: белый или черный. Это означает, что после наблюдения она полностью сосредоточена в одном регионе, скажем, на черном, в то время как он исчез из другого региона. Волна «коллапсировала» из более широкой области, покрывающей как черную, так и белую, в меньшую область, покрывающую только черное.

Эта «проекция» или «коллапс» представлена в квантовой механике как абстрактная математическая операция, а не как конкретный физический процесс. Поэтому предполагается, что коллапс происходит мгновенно, хотя на практике эксперимент, необходимый для наблюдения, конечно, потребует некоторого времени. Тем не менее, квантовая теория ничего не говорит о том, что должно произойти за это время; он только описывает состояние до (состояние суперпозиции) и после (спроецированного состояния) этой операции. Таким образом, коллапс волновой функции является еще одним весьма таинственным и противоречивым квантовым свойством: он как бы мгновенно «скачет» из одной области в другую, не проходя через какие-либо промежуточные области. Это приведет нас к еще одной причудливому квантовому свойству: нелокальности.

Запутанность — это квантовое свойство, которое следует прямо из суперпозиции (Horodecki, 2009). Предположим, что у вас есть две квантовые системы (обычно частицы), x и y. Каждая из них может находиться в определенном состоянии, например |x-черный> и |y-белый>. Состояние составной системы тогда |x-черный> |y-белый>. Но это составное состояние, описывающее систему, состоящую из x и y, также подчиняется принципу суперпозиции. Поэтому составная система может находиться в состоянии суперпозиции:

Это означает, что если вы производите наблюдение над x и обнаруживаете результат “черный”, составное состояние коллапсирует в первую часть суммы: |x-черный>|y-белый>. Поэтому любое дальнейшее наблюдение y обязательно приведет к результату “белый”. Однако, если первое наблюдение x показало “белый” как результат, коллапс волновой функции вынудит наблюдение над y показать черный цвет. В этом случае мы говорим, что компоненты x и y запутаны, потому что наблюдение одного не может быть отделено от наблюдения другого. Перед наблюдением как х, так и y могли получить результат белый или черный. Но как только результат для одного из компонентов определяется, он определяется и для другого. Результаты взаимно определяют друг друга и не могут быть распутаны.

Конечной квантовой концепцией, которую нам нужно ввести, является нелокальность (Wiseman, 2006). Предположим, что компоненты x и y разделены расстоянием в пространстве. Например, х может находиться в Брюсселе, а y в Токио. Предположим, что обе системы запутаны, то есть их составное состояние представляет собой суперпозицию двух состояний, каждая из которых характеризуется различными индивидуальными значениями (черный, белый) для каждого из компонентов. Наблюдение x в Брюсселе определит значение его свойства (скажем, черного). Но поскольку коллапс волновой функции мгновенен, это означает, что в то же время значение y в Токио станет определенным (в данном случае — белым). Результаты двух экспериментов скоррелированы: всякий раз, когда один из них приводит к черному, другой обязательно приведет к белому. Расстояние между двумя компонентами системы совершенно иррелевантно этому процессу. Следовательно, он не зависит от их расположения: коллапс нелокален. Как будто наблюдения квантовых процессов игнорируют расстояние или пространство. Состояние составной системы просто размазано или распределено в разных местах, независимо от того, насколько далеко или как близко эти места расположены друг от друга.

На первый взгляд, нелокальность противоречит основному принципу теории относительности, в котором говорится, что сигналы не могут распространяться быстрее скорости света. Под мгновенности коллапса подразумевается, что состояние y сводится к черному в тот самый момент, когда х определяется как белый. Это не оставляет времени сигналу преодолеть расстояние из Брюсселя в Токио, который «скажет» частице, что она должна коллапсировать до своего состояния “черный”. Тем не менее, многочисленные эксперименты с запутанными системами, которые наблюдаются одновременно, подтвердили, что такой результат действительно возникает, прежде чем любой сигнал, движущийся со скоростью не быстрее, чем свет, мог достигнуть второго компонента (Aspect, 2007). Оказывает ли квантовая теория доказательство теории относительности? Совсем нет, потому что все, что передается между этими двумя компонентами, не является «сигналом», в том смысле, что оно не может использоваться для передачи информации из одного местоположения в другое. Это было доказано математически с использованием различных вариантов квантового формализма (Eberhard & Ross, 1989; Ghirardi, Grassi, Rimini, and Weber, 1988).

Мы можем понять этот результат более интуитивно, отметив, что наблюдатель в Токио не может определить, коллапсировал ли компонент на той стороне из-за измерений в Брюсселе. Когда Токийский наблюдатель измеряет свойство компонента, он / она найдет «черный» с вероятностью 50%, независимо от того, было ли предыдущее измерение проведено или не было выполнено в Брюсселе. Нахождение «черного» в Токио может означать, что наблюдатель из Брюсселя обнаружил «белый» и, таким образом, привел компонент Токио в «черное» состояние еще до эксперимента в Токио. Но это может также означать, что наблюдатель из Токио своим наблюдением вызвал коллапс до своего “черного”, прежде чем произошел какой-либо эксперимент в Брюсселе. Одиночный эксперимент в Токио или Брюсселе не может определить, проводился или не проводился эксперимент в другом месте. Только после того, как мы соберем результаты нескольких таких экспериментов в обоих местах, мы сможем сделать вывод о корреляциях между их результатами, и что компоненты были запутаны. И для этого вместе требуется передача информации со скоростью, не превышающей скорость света, а это значит, что теория относительности не нарушается …

Итак, из квантовой теории нам нужно запомнить, что системы могут находиться в неком неопределенном состоянии суперпозиции, которое не является ни одним состоянием, ни его противоположностью, ни чем-то промежуточным, но в некотором смысле обоими состояниями одновременно. Более того, результат наблюдения такого состояния суперпозиции принципиально неопределен и может быть предсказан только статистически. После наблюдения состояние суперпозиции «коллапсирует» к собственному состоянию, которое соответствует измеренному значению, и остается в этом состоянии, когда наблюдение повторяется. Этот коллапс мгновенен, даже когда компоненты системы наблюдаются сколь угодно далеко друг от друга. Компоненты системы в состоянии суперпозиции называются запутанными. Коллапс означает, что запутанные компоненты мгновенно влияют друг на друга, независимо от расстояния между ними — свойство, называемое нелокальностью.

3. Основные понятия динамики комплексных систем.

Теория сложных систем еще менее развита, чем квантовая механика. Таким образом, ее концепции более разнообразны, менее четко определены и менее интегрированы в когерентную теорию. В частности, нет общего формализма, как тот, который определен для квантовой механики аксиомами, сформулированными фон Нейманом. Поэтому я просто представлю выбор того, что я считаю одним из ее наиболее фундаментальных идей, с упором на те, которые кажутся наиболее похожими на квантовые концепции.

Комплексные системы состоят из множества компонентов, которые подвергаются многим нетривиальным взаимодействиям, поэтому их невозможно разделить или уменьшить до независимых аспектов или свойств (Heylighen, 2009; Heylighen, Cilliers, & Gershenson, 2007). Поэтому наблюдателю вообще не удается собрать полную информацию о состоянии системы. Статистическая механика разработала надежные методы моделирования систем, таких как газы, которые имеют много компонентов, но которые не имеют таких сложных, нелинейных взаимодействий и зависимостей. Поскольку невозможно измерить положение и скорость каждой отдельной молекулы газа, мы не можем определить полное «микросостояние» системы. Однако, поскольку газ является статистически однородным, большой массив таких молекул может быть точно описан макроскопическими свойствами, такими как объем, температура и давление, вместе определяя «макросостояние» системы. Макросостояние — это просто класс микросостояний, которые считаются эквивалентными, в том смысле, что, например, средняя скорость молекул в каждом из микросостояний, составляющих макросостояние, одинакова. Таким образом, макросостояние может не предоставлять полную информацию о деталях системы, но оно не является двусмысленным в том смысле, что обычно можно четко определить, в каком из двух макросостояний находится система. Макросостояния не перекрываются, и отдельное микросостояние относится к тому или иному различимому макросостоянию. Тем самым, здесь нет эквивалента суперпозиций для макросостояний.

Это предположение о независимости наблюдаемых состояний больше не может быть сделано для сложных систем. Это связано с тем, что мы не только не можем наблюдать микроскопические свойства каждого компонента; мы также не можем определить их макроскопические взаимодействия. Это общая особенность нелинейных систем, технически известная как «чувствительная зависимость от начальных условий» и более неформально как «эффект бабочки» (Hilborn, 2004). Нелинейность означает, что эффекты взаимодействий непропорциональны их причинам. Это может привести к усилению эффектов, так что микроскопические различия, которые слишком малы, чтобы их можно было наблюдать, в конечном итоге приводят к огромным макроскопическим различиям. Таким образом, мы можем иметь два состояния системы, которые вначале макроскопически неотличимы (они относятся к одному и тому же «макросостоянию»), но при этом все еще производят макроскопически отличный результат после некоторого наблюдения. Например, состояние с или без движения крыла бабочки может привести либо к урагану, либо к его отсутствию.

Другим примером может быть предсказание выборов посредством опросов: когда различия в процентах от намерений голосования достаточно малы, становится невозможно предсказать, кто из кандидатов получит большинство. Это связано не только с тем, что опросы не собирают достаточно данных: сбор и публикация самих данных могут повлиять на результат, поэтому в большинстве стран запрещено публиковать результаты опроса непосредственно перед выборами. Даже без этого «эффекта наблюдателя» нелинейные взаимодействия между избирателями, влияющими на предпочтения друг друга, так, что они меняют намерения, которые они выражали во время опроса, могут усиливать крошечные флуктуации в колебания, достаточно большие, чтобы внести решающий перевес.

В таких случаях можно сказать, что свойства макросостояния (которое определено опросами) являются неопределенными: дальнейшее наблюдение (например, фактическое избрание) может привести к одному из нескольких результатов (например, выбран либо кандидат a, либо кандидат b). Первоначально система находится в эквиваленте состояния суперпозиции: a + b. После наблюдения состояние коллапсировало до одного из возможных результатов: a или b. Перед наблюдением результаты были неопределёнными и мы могли в лучшем случае оценить вероятность для каждого из возможных результатов. Но как только результат был получен, он является окончательным или необратимым.

Эта интуитивная иллюстрация может быть уточнена с использованием математического понятия бифуркации (Nicolis & Prigogine, 1977). Предположим, что у вас есть динамическая система, управляемая дифференциальным или разностным уравнением, которое описывает состояние s как функцию времени t: s (t). Равновесными решениями уравнения являются те, для которых s постоянна: s (t) = s0. Предположим, что эти решения зависят от параметра T (обычно называемого «параметром порядка»), который характеризует динамику. В типичных нелинейных системах, таких как конвекция Бенара, которые мы обсудим далее, существует одно решение для малых значений T (см. Рис.1). Однако по мере увеличения значения T вы достигаете точки, где уравнение имеет два устойчивых решения: s1 и s2. Точка в пространстве параметров, где изменяется число решений, называется точкой бифуркации. Равновесное решение s0 все еще существует за пределами этой точки, но оно уже не является устойчивым: наименьшее возмущение или флуктуация от состояния s0 заставляет систему немедленно перейти к одному из устойчивых решений s1 или s2, где она и остается.

Этот переход от неустойчивого равновесия s0 к одному из стабильных состояний s1 или s2 можно рассматривать как «коллапс» состояния суперпозиции s1 + s2, «проекцию» его на одно из его состояний s1 или s2. Увеличение параметра порядка T за точкой бифуркации играет роль наблюдения, которое заставляет систему делать выбор между одним из «собственных состояний» этого наблюдения. Предполагая, что s1 и s2 являются эквивалентными решениями, этот выбор одного вместо другого можно рассматривать как нарушение симметрии (Castellani, 2003). Как если бы система при достижении бифуркации вынуждена была решить, идти ли влево (s1) или вправо (s2), так как она не может продолжать двигаться прямо s0 (что было бы единственным способом сохранить симметрию влево-вправо). Как и в квантовом случае, этот процесс непредсказуем в своем результате и необратим в том смысле, что после выбора для одного из состояний s1 или s2 система остается в этом состоянии для любого подобного «наблюдения».

В более общем плане, динамическая система характеризуется рядом аттракторов: регионов в своем пространстве состояний, в которые она может входить, но не покидать, и которые не содержат меньших подобных областей (Heylighen, 2001; Milnor, 2006). Стабильные состояния, такие как s1 и s2, являются нульмерными, точечными аттракторами. Предельные циклы, которые обычно встречаются в нелинейных, далеких от равновесия системах, являются одномерными аттракторами. Но аттракторы могут иметь любое количество измерений, включая фрактал. Аттрактор А окружен его бассейном притяжения В (А). Он содержит в себе все состояния в пространстве состояний, траектория которых заканчивается в аттракторе А. Границы между бассейнами соответствуют точкам бифуркации (например, неустойчивому состоянию s0): система на такой границе должна сделать выбор, какой из два соседних бассейна B (A1) или B (A2), и, следовательно, аттракторы A1 или A2, он войдет

Система, которая достигла аттрактора, ограничена в своей дальнейшей эволюции, поскольку ее траектория по определению не может оставить этот аттрактор и перейти к другому аттрактору или бассейну. Она потеряла часть своей свободы. Если пространство состояний имеет размерность n и размерность аттрактора k <n, то система потеряла n — k своих степеней свободы. Если система состоит из разных компонентов, это означает, что компоненты более не могут перемещаться независимо друг от друга. Например, предположим, что система состоит из двух компонентов, каждая из которых имеет m степеней свободы. Тогда система в целом имеет n = 2 × m степеней свободы. После достижения аттрактора он имеет k <2 × m степеней свободы, подразумевая, что его компоненты больше не могут полностью использовать свои собственные m степеней свободы: движение одного компонента через его пространство состояний будет сдерживать движение другого: их движения больше не могут быть разделены.

В качестве примера рассмотрим два бильярдных шара, каждый из которых может перемещаться по двумерному бильярдному столу. Таким образом, система двух шаров имеет 2 × 2 = 4 степени свободы. Предположим, что шарики являются магнитными, так что они притягивают друг друга. После некоторых независимых движений по столу, вероятно, окажутся так близко друг к другу, что они больше не смогут сопротивляться силе притяжения и в конечном итоге прилипнут друг к другу. Это приводит к созданию системы из двух шаров в форме фигуры 8. Эта склеенная конфигурация является аттрактором для системы, поскольку шары больше не могут разделиться и, таким образом, восстанавливать свое независимое движение. Эта конфигурация в форме 8 все равно может двигаться в целом по бильярдной таблице: 2 степени свободы. Более того, она все равно может вращаться вокруг своей оси: 1 степень свободы. Тем не менее, шары потеряли свободу изменять расстояние между ними. Таким образом, система теперь имеет только 3 степени свободы. Используя квантовую терминологию, можно сказать, что шары запутались. Всякий раз, когда мы наблюдаем положение одного из шаров, мы можем вывести, что другой шар находится на фиксированном расстоянии от этой позиции. Если бы мы были не уверены в положении двух шаров, измерение одного шара не только уменьшает нашу неопределенность относительно этого шара, но и другого.

Таким образом, квантовая запутанность соответствует феномену глобального ограничения комплексных систем . Это общее ограничение заставляет компоненты системы вести себя скоординированным образом (нисходящая причинность), в это время определяя эмерджентное свойство (в нашем случае, угол поворота). Такое эмерджентное свойство характеризует то, как компоненты соединяются или зависят друг от друга, будучи неопределенными на уровне отдельных компонентов. Поэтому его нельзя свести к свойствам этих компонентов (Bedau, 2002; Heylighen et al., 2007).

Этот пример еще не иллюстрирует нелокальность, поскольку шары остаются в локальном контакте. Давайте представим себе два бильярдных шара, которые отталкивают друг друга, например, потому что они имеют тот же электростатический заряд. Предположим для простоты, что бильярдный стол имеет круглую круглую форму. Когда два шара опускаются в случайных положениях на столе, сила отталкивания заставит их отстоять как можно дальше друг от друга, пока они не достигнут круглой границы стола, где они останутся на противоположных концах (рис.2 ). Шарики все еще могут двигаться по кругу, но всегда вместе, так что расстояние между ними остается максимальным. Это означает, что они «запутаны» таким образом, что вместе они оставляют только одну степень свободы: их положение по кругу. Наблюдатель, который рассмотрит верхнюю половину (↑) круга и найдет шар x, сможет вывести, что другой наблюдатель, исследующий нижнюю половину (↓), точно в тот же момент найдет там шар y. И наоборот, если первый наблюдатель найдет y в верхней части, то будет следовать, что второй наблюдатель найдет x в нижней части.

Мы могли бы описать эту ситуацию как суперпозицию собственных состояний этого наблюдения:
| x ↑> | y ↓> + | x ↓> | y ↑>

Обнаружение x в верхней части ↑ приведет к коллапсу этой суперпозиции в первую часть указанной суммы, что также приведет к свертыванию состояния y к присутствию в нижней половине. Заметим, что если бы мы выявили присутствие шара x в левой половине круга |x←>, то мы были бы уверены, что шар y будет в правой половине |y→>. Причина в том, что ограничение на двухкомпонентную систему просто говорит, что один компонент должен быть противоположным другому, так что их центр масс всегда остается посередине круга. Это похоже на классический пример квантовой запутанности (Wiseman, 2006), где ограничение состоит в том, что полный спин системы, состоящей из x и y, должен быть равен нулю, а это означает, что спин вверх для x означает спин вниз для y, а спин слева для x означает спин справа для y. Такое глобальное ограничение создает согласованность или корреляцию между частями системы.

Поскольку x и y пространственно разделены, корреляция между их состояниями является нелокальной. Конечно, корреляция первоначально была создана локальным взаимодействием (между электростатическими силами). Тем не менее, то же самое относится и к нелокальным корреляциям в квантовых системах, когда компоненты сначала должны взаимодействовать локально до того, как их состояния могут запутаться (например, частицы с противоположными спинами создаются из-за распада одиночной системы нулевого спина).

Этот пример может показаться слишком простым, учитывая, что наблюдатель мог в принципе наблюдать за положением обоих шаров одновременно. Позвольте исследовать более сложную систему, где макроскопически наблюдаемые свойства возникают из не наблюдаемых, микроскопических взаимодействий.

4. Конвекция Рэлея-Бенара

Конвекция Релея-Бенара (Bodenschatz, Pesch, & Ahlers, 2000; Nicolis & Prigogine, 1977) — классический пример самоорганизации, в которой сложная система достигает точки бифуркации, после чего она оседает в новом, когерентном режиме, в котором его первоначально независимые компоненты стали нелокально скоррелированными. Это явление появляется в жидкости, которая равномерно нагревается снизу, пока она равномерно остывает на ее поверхности. Тепло, добавленное к нижнему слою жидкости, должно транспортироваться к верхнему слою, чтобы рассеиваться на холодной поверхности. Первоначально этот перенос тепла может происходить путем проводимости, при которой молекулы в более теплой жидкости на дне передают их кинетическую энергию соседним молекулам до тех пор, пока она не достигнет поверхности. Но по мере увеличения нагрева градиент или разность температур T между дном и поверхностью в конечном итоге становятся слишком большими, а проводимости уже недостаточно. Перенос тепла теперь может происходить только при конвекции: более теплая (и, таким образом, более легкая) жидкость со дна поднимается до поверхности, где она может выделять свое тепло более прохладному воздуху выше, в то время как более холодная (и, следовательно, более тяжелая) жидкость опускается до более теплого дна, где он накапливает тепло.

Эти противоположные движения на первый взгляд создают конфликт: холодная жидкость, движущаяся вниз, препятствует движению теплой жидкости. «Решение» конфликта состоит в том, что движения жидкости координируются для создания кругового потока: теплая жидкость течет вверх в одном месте, остывает на поверхности, движется в сторону в другое место, где теперь она присоединяется к холодному, нисходящему поток, достигающего дна; там он снова нагревается, двигается боком в противоположном направлении, назад к месту, где он соединяется с начальным восходящим потоком и т. д. (рис.3). Это создает вращение жидкости, циркулирующей между поверхностью и дном. Если емкость достаточна большая, жидкость будет самоорганизовываться в ряд таких параллельных круговых потоков или, в зависимости от формы емкости, шестиугольных ячеек. Для простоты мы рассмотрим случай круговых потоков, чтобы мы могли изобразить всю систему в двух измерениях: вертикальном, представляющем градиент температуры и горизонтальном, представляющем точки начала и конца потоков. Круговой поток, вращающийся по часовой стрелке, обычно будет примыкать к потоку, который вращается против часовой стрелки, и наоборот. Таким образом, жидкость спонтанно подразделяется на ряд скоординированных параллельных круговых потоков.

И наоборот, для режима против часовой стрелки:

Вернемся к неустойчивому режиму s0, где конвекционный поток еще не начался, а симметрия между левым и правым еще не нарушена. Ранее мы утверждали, что это «неопределенное» состояние на границе между двумя бассейнами притяжения можно рассматривать как суперпозицию двух аттракторных состояний в центре этих бассейнов:

s0 = s1 + s2 = | x ↑> | y ↓> + | x ↓> | y ↑>

Эта суперпозиция описывает запутанность между двумя областями x (слева) и y (справа). Когда значение параметра порядка T увеличивается, это состояние рушится до s1 или s2. Это означает, что две отдельные области x и y одновременно выбирают определенное направление потока, но такое, что одно всегда противоположно другому.

Заметим, что это похоже на классическую ситуацию Эйнштейна-Подольского-Розена, в которой измеряется спин двух запутанных частиц x и y (Wiseman, 2006). Поскольку их полный спин равен 0, любое измерение, устанавливающее, что одна обладает спином вверх |x↑>, мгновенно сворачивает состояние другой всостояние со спином вниз |y↓>. Однако то, что создает истинный «парадокс» в этой ситуации ЭПР, заключается в том, что наблюдатель мог также измерить другое свойство, такое как спин в левом-правом направлении. Здесь тоже результат «влево» для одного из них подразумевал бы крах результата «вправо» для другого, и наоборот.

Комплементарные свойства — это свойства, которые нельзя наблюдать одновременно. Например, установка, необходимая для измерения волновых свойств электрона (например, его импульса р), несовместима с установкой, необходимой для измерения ее частицеподобных свойств (таких как ее положение х). Поэтому волновые и корпускулярные аспекты квантовых систем называются взаимодополняющими или комплементарными: всякий раз, когда мы видим одно, мы не можем видеть другого, но оба они необходимы, чтобы полностью понять поведение системы. Точный результат наблюдения для одной из пары комплементарных свойств (например, положение и импульс, или спин в вертикальном и горизонтальном направлениях) означает, что результат для другого становится полностью неопределенным. Это более общая формулировка известного принципа неопределенности Гейзенберга (где Δx представляет собой неопределенность в измерении положения x):

Можем ли мы найти эквивалент комплементарных свойств, которые описывают явление конвекционного кругового потока? До сих пор мы выделяли направления потока: по часовой стрелке s1 и против часовой стрелки s2. Но система также характеризуется разностью температур между нижним слоем жидкости и более высоким слоем. Это различие обусловлено параметром T (разность температур между нагретым дном и холодной поверхностью). Однако оно также зависит от состояния системы. В состоянии s0 без конвекции существует большая разность температур, так как тепло не может легко перемещаться снизу вверх. С другой стороны, в состояниях s1 и s2 имеется небольшая разность температур, так как теплая жидкость снизу непрерывно транспортируется на холодную поверхность и наоборот (рис.3). Чем больше нагрев и, следовательно, Т, тем быстрее теплая вода будет перемещаться на поверхность, чтобы смешиваться с более холодной водой. Таким образом, в конвективных состояниях происходит постоянное перемешивание температурных слоев, что компенсирует любое увеличение T. Если эксперимент заключается в регистрации температуры в нижнем и более высоком слоях жидкости с таким состоянием, то можно сказать, что размер T не наблюдаем в конвективном состоянии, а его значение четко определено в равновесном состоянии s0. Для простоты выделим два «собственных состояния» наблюдаемого T: | T-большая> и | T-малая> (где «малая» T еще достаточно велика, чтобы поддерживать конвекцию). В этом случае состояние конвекции s1, которое является собственным состоянием для наблюдаемого «направления потока», становится состоянием суперпозиции для наблюдаемого T:

s1 = | T -large> + | T -small>

Возвращение состояния конвекции в состояние равновесия s0 в некотором смысле «сворачивает» суперпозицию, потому что в этом состоянии мы находим либо |T-большую>, либо |T-малую>. Это может быть достигнуто следующим образом. Мы могли бы временно прервать конвекционный поток, вставив параллельные горизонтальные пластины, которые останавливают движение жидкости в вертикальном направлении. После того, как пластины были вставлены, мы можем измерить разницу температур между верхним и нижним слоями и определить, является ли результат этого наблюдения |T-большую> или |T-малую>. Но в этом состоянии мы больше не можем определить результат дополнительного наблюдения | x ↑> или | x ↓>, потому что нет потока. После удаления пластин состояние снова коллапсирует в одно из двух состояний потока s1 или s2, но результат будет неопределенным. Таким образом, два наблюдения направления потока и градиента температуры являются взаимодополняющими, и определенный результат для одного подразумевает неопределенный для другого. Было бы интересным упражнением, проверить, может ли такая система нарушить неравенство Белла, которое являются классическим способом характеризовать квантовую нелокальность (Wiseman, 2006), так же, как нарушающая неравенство Белла макроскопическая система, предложенная Аертом (1982).

5. Другие примеры сложных явлений

Существует много подобных примеров самоорганизации в сложных системах, обладающих квантово-подобными свойствами. Прямой аналог конвекции Бенарда можно найти в потоках, которые спонтанно образуются в пешеходном движении (Helbing, 2001; Helbing & Molnar, 1998). Предположим, что толпа людей должна пройти через относительно узкое пространство, такое как улица или площадь, но половина людей движется в одном направлении (скажем, с севера на юг) и половина в противоположном направлении (с юга на север). Вначале мы находимся в состоянии трения или взаимной обструкции, так как людям постоянно нужно менять курс, чтобы не натолкнуться на других. Однако через некоторое время их движения становятся более скоординированными, поскольку люди, движущиеся в определенном направлении, начнут следовать друг за другом, оставаясь в стороне от людей, движущихся в противоположном направлении. Таким образом, доступное пространство самоорганизуется на две или более параллельных «полос», так что люди на одной полосе движутся в одном направлении, а в соседней полосе движутся в противоположном направлении. Это похоже на разделение жидкости параллельно параллельно и вниз, хотя и с той разницей, что люди, достигшие конца полосы / потока, не меняют направление и возвращаются через соседнюю полосу. Тем не менее, первоначальное разделение между полосами демонстрирует аналогичную динамику бифуркации, учитывая, что одна и та же полоса могла использоваться для движения с севера на юг или юг-север.

Изначально оба варианта одинаково вероятны, и дело в непредсказуемых колебаниях, которые нарушат симметрию, в результате чего в данной полосе немного больше людей перемещаются в одном направлении, чем в другом. Поскольку люди склонны следовать за другими, которые движутся в одном направлении, чтобы избежать столкновений, эта случайная флуктуация будет усиливаться до тех пор, пока она не станет доминирующей по длине полосы. Опять же, можно сказать, что первоначально несогласованное движение соответствует неопределенному состоянию суперпозиции, которое затем «сворачивается» к одному из нескольких возможных собственных состояний, характеризующихся определенным потоком для данной полосы. Параметр порядка, который вызывает коллапс в этом случае, — это плотность движения пешеходов: чем больше людей пытаются пересечь данную область, тем больше трений будет вызвано тем, что люди натыкаются друг на друга, и поэтому больше людей будут стремиться следовать за другими двигаясь в одном направлении.

Такая самоорганизация посредством нелинейного усиления микроскопических флуктуаций является тем, что Пригожин назвал «упорядочением через флуктуации» (Nicolis & Prigogine, 1977). Нарушение симметрии, которое оно создает, может быть понято через так называемую динамику «победитель-забирает-все». Это описывает ситуацию, когда несколько возможных конфигураций конкурируют, чтобы захватить данный набор компонентов (таких как молекулы, капли жидкости или люди). Усиление обычно вызвано положительной обратной связью или цепной реакцией, в которой число «новобранцев» в расширяющейся конфигурации пропорционально числу, которое уже существует, так что его рост является экспоненциальным. Компоненты обычно завербовываются в тот момент, когда большинство их соседей завербовано. Первая конфигурация, которая начнет расти, вербует большинство компонентов и, таким образом, расширит окрестности, в которых она сможет привлечь больше новобранцев. Таким образом, он будет посягать на любую конфигурацию, которая началась позже, и поэтому могла набрать только меньшее количество соседей. В результате первая конфигурация (или та, которая по какой-то другой причине ускорилась быстрее) в конечном итоге обгонит и уничтожит любые конкурирующие конфигурации. Таким образом, будет один «победитель», который возьмет на себя все компоненты.

Классическим примером такого типа динамики является формирование общественного мнения в социальной группе. Предположим, что изначально у людей разные мнения, но они склонны придерживаться мнения своих соседей. Если случайно небольшая группа соседей придерживается того же мнения, их влияние на своих соседей будет больше, чем у других соседей, которые имеют разные мнения. Таким образом, группа будет расти. Из-за положительной динамики обратной связи, описанной выше, в конечном итоге они обгонят всю группу, так что каждый согласится на одно и то же мнение — процесс, называемый «конформистская передача» (Henrich & Boyd, 1998). Аналогичную динамику можно увидеть в модели Изинга для намагничивания, в которой спины стремятся выровняться по направлению вращения (вверх или вниз) своих соседей. В зависимости от того, насколько чувствительны спины к случайным колебаниям и влиянию их соседей, это может привести либо к нерегулярным зонам, в которых молекулы локально имеют тот же спин, который отличается от того, что находится в других зонах, или к полностью однородному результату спина. Во всех этих случаях мы начинаем с неопределенного состояния, когда случайные распределения или мнения распределяются случайным образом, что затем «коллапсирует» в одно направление или мнение, нарушая тем самым симметрию первоначально однородного распределения, создавая глобальную корреляцию между всеми регионами.

Подобная динамика, по-видимому, происходит в мозге. Согласно глобальной теории рабочего пространства, которая все больше поддерживается эмпирическими данными (Dehaene, 2014; Sergent & Dehaene, 2009), мы осознаем некоторое восприятие или мысль, когда ей удается выиграть конкуренцию за внимание от конкурирующих стимулов. Таким образом, он доминирует над «глобальным рабочим пространством», который является своего рода центральным перекрестком нейронов, из которого команды передаются в другие части мозга. Многие подсознательные процессы идут параллельно, но из тех, которые достигают глобального рабочего пространства, только “победитель” может доминировать над сознанием. Вот почему сознание последовательно: мы можем только полностью осознавать одну мысль за раз, даже когда подсознательная деятельность в наших нейронных сетях вне рабочего пространства является массово параллельной.

Это иллюстрируется классическим примером, который имеет явное сходство как с квантовыми процессами, так и с самоорганизацией: Гештальт-восприятие (Kruse & Stadler, 2012; Stadler & Kruse, 1990). Наше сознание не видит образы в виде подробных массивов пикселей, частей или нюансов, а как целостности: четкие образы с однозначной интерпретацией, которые называются «гештальты». Когда изображение неоднозначно, в том смысле, что его можно интерпретировать более чем одним способом, мы обычно осознаем только одну интерпретацию за раз. Известные примеры таких неоднозначных фигур — это форма, которая похожа либо на кролика, либо на утку, или на то, что напоминает либо вазу, либо два профиля людей, обращенные друг к другу. Хотя мы можем воспринимать оба гештальта, мы не можем делать это одновременно. Только один гештальт может выиграть конкурс на глобальное господство в рабочем пространстве.

Такая неоднозначная фигура может быть представлена как состояние суперпозиции, например | кролик> +| утка>. Но сознание функционирует подобно квантовому наблюдению, которое может воспринимать только собственные состояния: | кролик> or | утка>. Процесс достижения сознательной интерпретации «сворачивает» состояние суперпозиции в одно из собственных состояний, и это по своей природе непредсказуемо.

Подразумеваемое нарушение симметрии, пожалуй, наиболее ярко иллюстрируется другой двусмысленной фигурой, куб Неккера (рис.4). Это двумерная геометрическая фигура, состоящая из двух связанных квадратов, которые мозг имеет тенденцию интерпретировать как трехмерный куб. Однако есть два способа «увидеть» куб, один в котором левый квадрат появляется как передняя сторона куба (подразумевая, что правый квадрат представляет собой заднюю сторону), и тот, в котором правый квадрат появляется как передний. Две интерпретации абсолютно симметричны, и нет причин, по которым одна из них была бы предпочтительнее другой. Тем не менее, динамика “победитель-получает -все” подразумевает, что только одна может присутствовать в сознании в данный момент времени. Таким образом, первоначальная симметрия должна быть нарушена, по своей сути непредсказуемым образом.

Этот пример также иллюстрирует нелокальность. Предположим, мы разложим фигуру на левый и правый квадраты. Из-за их соединительных линий квадраты «запутаны». Начальное состояние нашего восприятия, прежде чем оно достигнет сознания, неопределеность того, какой квадрат будет выглядеть как «спереди» и который как «сзади». Таким образом, мы можем описать это как состояние суперпозиции:

|слева-спереди> |справа-сзади> + |слева-сзади> |справа-спереди>

Операция попадания образа в сознание сворачивает это состояние в одно из двух собственных состояний. Таким образом, восприятие левого квадрата как «спереди» заставляет состояние правого квадрата мгновенно коллапсировать до «сзади». Но левое и правое разделены конечным расстоянием, поэтому этот процесс в некотором смысле «нелокален».

6. Некоторые размышления о квантовой теории поля.

Вышеприведенные примеры, похоже, являются хорошим примером параллелизма между сложными процессами самоорганизации и процессами квантового наблюдения. Вопрос в том, указывает ли это соответствие на принципиально общую динамику. Поэтому рассмотрим различия между ними и посмотрим, можно ли их устранить. Первое различие, мгновенность коллапса в квантовом мире против протяженности процесса самоорганизации, возможно, менее фундаментально, чем кажется. Ранее мы отмечали, что квантовое наблюдение бывает только мгновенным, как математическая операция, но его физическая реализация всегда имеет конечную продолжительность. Мы также отметили, что ни в коем случае информация не передается от одной части системы к другой со скоростью быстрее, чем свет. То же самое относится к самоорганизации, где корреляции между удаленными регионами могут возникать очень быстро из-за нелинейного усиления, но распространение порядка или равновесия по-прежнему использует локальные взаимодействия и, следовательно, требует конечного времени для достижения всех регионов. Однако, как только корреляция будет глобальной, мы можем забыть о конечном процессе, который ее создал, и немедленно определить состояние одного компонента из нашего наблюдения за другим.

Другое различие между двумя типами процессов состоит в том, что одно индуцируется наблюдением, в то время как другое происходит спонтанно — хотя обычно вызывается изменением значения параметра порядка, влияющего на систему. Наблюдение подразумевает взаимодействие между измеряемой квантовой системой и некоторым устройством или установкой, которые обязательно влияют на измеряемую систему. В этом смысле наблюдение можно рассматривать как внешнюю динамику, навязанную некоторым наблюдателем в системе, которая заставляет систему «коллапсировать» и, таким образом, сделать выбор между собственными состояниями, которые составляют его начальное состояние суперпозиции. Это не выглядит принципиально отличным от динамики, вызванной внешним изменением параметра порядка, который заставляет его выбирать между аттракторами. Этот момент подтверждается более поздней интерпретацией коллапса волновой функции как процесса «декогеренции» (Joos et al., 2013; Zurek, 2003), в котором вносящие шум взаимодействия между квантовой системой и ее средой постепенно стирают согласованность, которая существовала между различными частями состояния суперпозиции или волновой функции.

Это подводит нас к фундаментальному вопросу: что заставляет систему выбирать один вариант, а не другой? Если мы предполагаем идеальную симметрию между вариантами, в том смысле, что ни одно из решений ни в коем случае не предпочтительнее других, то, похоже, не существует причины. Такое спонтанное нарушение симметрии (Castellani, 2003) выглядит как фундаментально неопределенный, необоснованный процесс или то, что я ранее называл «созданием различий» (Heylighen, 1989, 1990; Heylighen et al., 2007). В самоорганизации причиной обычно считается некоторая микроскопическая, ненаблюдаемая флуктуация (Nicolis & Prigogine, 1977), аналогичная случайному распределению молекулярных движений, вызывающих броуновское движение в жидкости. Эквивалентом в квантовой механике будет скрытая переменная, микроскопическое свойство, которое мы не можем наблюдать, но которое влияет на результат наблюдения. Однако теорема Белла установила, что если скрытые переменные отвечают за парадоксы запутывания, то эти скрытые переменные должны быть нелокальными (Wiseman, 2006), что противоречило бы некоторым из самых глубоких принципов, лежащих в основе физических теорий. Поэтому скрытые переменные обычно отвергаются как объяснение квантовой неопределенности.

Аертс предложил изящную гипотезу для решения проблемы: скрытый метод измерения (Aerts, 1998). Это предполагает, что ненаблюдаемые свойства, определяющие результат наблюдения, скрываются не внутри квантовой системы, а внутри измерительной аппаратуры. Это имеет смысл, учитывая, что микроскопическая квантовая система, такая как электрон, вряд ли предлагает какое-либо “место”, чтобы скрыть что-либо, в то время как наблюдательное устройство представляет собой сложную макроскопическую систему, полное микросостояние которой мы никогда не сможем определить. Поскольку результат измерения зависит как от системы, так и от устройства, представляется разумным предположить, что различные, хотя и неразличимые, микросостояния для одного и того же устройства приведут к различным результатам.

Чтобы прояснить этот вопрос, Аертс предлагает воображаемую модель, которая иллюстрирует, как скрытый метод измерения может вызвать некоторые из вероятностных распределений, предсказанных квантовой теорией. В этой модели (детерминированное) состояние квантовой системы каким-то образом регистрируется на определенном месте вдоль упругой струны, которая натянута внутри устройства. (Это можно визуализировать с помощью установки на рисунке 2, где мы можем, что один из шаров, представляющий систему, «упадет» на горизонтальную линию, которая представляет «струну»). Но аппарат может регистрировать только два возможных результата (собственных состояний), «спин-левый» или «спин-правый». Это происходит, когда струна разделяется на две части. Если пятно найдено на левой части струны, то зарегистрированный результат «спин-левый» и наоборот. Неопределенность вводится тем фактом, что мы не знаем, где по ее длине струна будет разделена.

Эта модель на самом деле обеспечивает красивую простую иллюстрацию нашей первоначальной проблемы нарушения симметрии. Когда напряжение на струне увеличивается, неизбежно наступает момент, когда струна рвется, тем самым создавая различие или дифференциацию. Предположим, что струна однородна: каждый сегмент такой же прочный, как и любой другой сегмент. Поэтому нет априорных «слабых мест», которые могли бы прорваться от более слабого напряжения, чем другие регионы. Поскольку струна является эластичной, независимо от того, где напряжение приложено, это напряжение будет равномерно распределяться по всем сегментам. Действительно, представьте, что напряжение будет выше в сегменте A, так что A будет растянуто больше. Это означает, что А будет тянуть сильнее на соседний сегмент В, который еще менее растянут и, следовательно, обладает большей эластичностью, чтобы поглощать напряжение, пока он не будет столь же напряженным, как А. Таким образом, любая локальная неоднородность немедленно будет рассеиваться глобально по всей системе, поэтому напряжение остается однородным. Но это означает, что любой сегмент струны порвется с такой же вероятностью (или маловероятностью), как и любой другой. Тем не менее, по мере увеличения натяжения струна должна разрушаться в определенном месте, которое поэтому выбирается из континуума эквивалентных пятен. Это похоже на нарушение симметрии во время бифуркации, причем возрастающее напряжение играет роль параметра порядка, заставляющего систему делать выбор. Единственное различие заключается в том, что в этом случае число возможных вариантов неисчислимо бесконечно, а не конечное.

В реальном макроскопическом эксперименте мы объяснили бы нарушение симметрии некоторой микроскопической неоднородностью в материале струны или, возможно, флуктуацию распределения молекулярных сил в струне. В квантовой механике мы приписываем ее некоторой особенности процесса наблюдения, возможно объясняемой тем, как аппарат возмущает систему. Но есть более глубокая теория, предполагающая, что нарушение симметрии действительно спонтанное и не нуждается в каких-либо внешних факторах: (релятивистская) квантовая теория поля (Mandl & Shaw, 2010). Математика этой теории настолько сложна, что никто действительно не посмел предложить систематическую или интуитивную интерпретацию ее результатов. Тем не менее, эти результаты настолько удивительно широки и эмпирически точны, что это, вероятно, самая надежная теория во всей науке. Но нам не нужно понимать математический вывод, чтобы оценить некоторые из явлений, которые он объясняет.

Возможно, самым известным случаем является радиоактивный распад: радиоактивный атом по определению является неустойчивым, а это означает, что он может распасться на более мелкие частицы в любой момент времени. Однако невозможно определить, в какое время произойдет такое распад. Мы знаем только, что существует фиксированная вероятность распада атома в течение заданного интервала времени. Период полураспада изотопа означает интервал, для которого эта вероятность составляет ровно 50%. Это означает, что после этого периода примерно половина атомов в образце будет распадаться. Тем не менее, эти атомы были абсолютно идентичны по отношению к силам, ответственным за радиоактивность. Первоначальная однородность или симметрия между атомами была нарушена: некоторые из них распадались, другие выжили. Но здесь мы не можем найти никакой внутренней или внешней причины, ответственной за эту разницу: никаких наблюдений, параметров порядка, микроскопической неоднородности, никакого возмущения … не повлияло на атомы. Каждый атом сам по себе, независимо от внешних воздействий, в какой-то случайный момент решил либо распасться, либо сохраниться.

Менее известным, но на самом деле более распространенным, примером такого индетерминированного внутреннего процесса является «квантовый скачок», через который возбужденный атом или молекула возвращается к базовому уровню энергии. Любой уровень энергии выше основного состояния неустойчив и в конечном итоге опустится до устойчивого уровня, излучая один или несколько фотонов, чтобы унести избыточную энергию. Однако время этого распада и направление излучения фотона по существу непредсказуемы. Как ни странно, хотя излучение таких «квантов» энергии является тем, что дало название квантовой механике, этот процесс нельзя объяснить в рамках обычной квантовой механики. Действительно, эволюция квантового состояния, описываемая уравнением Шредингера, является внутренне непрерывной, а разрывы возникают только тогда, когда наблюдение сворачивает состояние в собственное состояние. Но прерывистое излучение фотона при возбужденном состоянием происходит спонтанно, без каких-либо наблюдений. Поэтому его следует объяснить квантовой теорией поля.

Единственной «причиной» такого нарушения симметрии является так называемая квантовая флуктуация вакуума. В теории поля вакуум представляет собой нулевой значение энергии поля. Любая положительная энергия, вводимая в поле, создает «возбуждение», которое классически принимает форму волны, но квантово-механически можно интерпретировать как частицу (например, фотон). Теперь принцип неопределенности Гейзенберга для дополнительных свойств времени и энергии утверждает, что когда временные интервалы становятся сколь угодно малыми, неопределенность энергии, присутствующей в этом интервале времени, становится сколь угодно большой. Это означает, что если мы рассмотрим вакуум через достаточно короткий интервал, энергия, присутствующая в течение этого интервала, может принимать значения, достаточно большие для создания «виртуальных частиц». Это возбуждения поля, которые так недолговечны, что мы не можем их непосредственно наблюдать, потому что они распадаются почти сразу, как только они появляются. Но во время их короткой жизни они могут взаимодействовать с такой системой, как атом в возбужденном состоянии, и вызывать распад этого состояния. Таким образом, квантовая теория поля предполагает, что даже пустота или ничто (т. е. отсутствие какой-либо энергии, материи или другой отличительной черты) могут временно колебаться путем случайного создания виртуальных частиц или волн, которые влияют на нестабильные системы, и которые могут заставить их «коллапсировать».

Как это связано с самоорганизацией? Типичная самоорганизующаяся система, такая как жидкость или массив спинов, состоит из множества взаимодействующих компонентов, распределенных по пространству. Посредством локальных взаимодействий изменение состояния компонента имеет тенденцию распространяться на соседние компоненты, распространяясь таким образом, как волна в среде. Примерами таких волн являются «фононы», которые представляют собой частицы-подобные колебания, распространяющиеся в некоторой твердой среде. Эта среда дискретная, состоящая из отдельных компонентов, таких как молекулы. Поле является дискретной средой, но можно рассмотреть такой предел дискретной среды, когда расстояние между компонентами переходит в нуль. Например, было показано, что классическая модель Изинга, которая используется для иллюстрации самоорганизации намагниченности посредством распространения магнитного выравнивания между соседними спинами, становится изоморфной квантовому электромагнитному полю в таком пределе. Таким образом, поля и сложные динамические системы выглядят как разные способы моделирования динамики флуктуации и распространения, где флуктуация играет роль начального события, которое ускоряет нарушение симметрии, в то время как распространение по среде является механизмом, который усиливает это случайное изменение, и создает новую согласованность или координацию между удаленными регионами. Классическим применением этого в физике являются фазовые переходы, такие как переход от (неупорядоченной) жидкости к (когерентному) твердому, который может быть смоделирован с использованием как нелинейной статистической механики, так и эквивалента квантовой теории поля(Zinn-Justin, 1996).

7. Заключение

Мы исследовали соответствие между фундаментальными аспектами квантовой теории и связанными явлениями в теории сложных, самоорганизующихся систем (табл. 1). С одной стороны, это помогает нам лучше понять часто противоречивое поведение квантовых систем, потому что теперь мы можем видеть, как они аналогичны макроскопическим явлениям, с которыми мы имеем более непосредственный опыт. Оно также предлагает новые методы для анализа этого поведения на более глубоком уровне. И наоборот, аналогия с квантовой механикой, предлагает новые способы изучения сложных явлений, таких как самоорганизация когнитивных или социальных структур, расширяя тем самым программу, которая была инициирована теорией квантового познания (Aerts, 2009; Aerts, Gabora, Sozzo, Veloz, 2011; Bruza et al., 2015).

Квантовые явления на самом глубоком уровне характеризуются принципом суперпозиции. Это означает, что для любых двух состояний с детерминированными характеристиками существует состояние суперпозиции, для которого эти же характеристики являются неопределенными, что означает, что наблюдение может произвести либо тот, либо другой результат непредсказуемым образом. Эта неопределенность отражается в сложных системах феноменом бифуркации, который отмечает, что при изменении параметра порядка стабильные решения могут “размножаться”, заставляя систему “выбирать” одно из нескольких априорных эквивалентных состояний. Как в квантовой, так и в сложной динамике первоначально неопределенное состояние, похоже, «рушится» в один из определенных результатов, где оно остается. Это означает, что результат является аттрактором или собственным состоянием процесса, который ускорил коллапс. Выбор одного из нескольких эквивалентных результатов в обоих случаях определяет нарушение симметрии. В сложной динамике это нарушение симметрии, по-видимому, инициируется микроскопической флуктуацией, а в квантовой механике это может быть вызвано микроскопическим возмущением, вызванным аппаратом наблюдения, или, что более принципиально, флуктуациями вакуума, вытекающими из принципа неопределенности Гейзенберга.

В самоорганизующихся системах «коллапс» в состояние аттрактора создает глобальное или возникающее ограничение, которое индуцирует корреляцию между компонентами системы. Это похоже на «запутывание», которое может происходить между компонентами квантовой системы, когда система в целом ограничена условием глобального состояния, например, с полным спином 0. Такие корреляции являются нелокальными, в том смысле, что состояния пространственно удаленных компонентов зависят друг от друга, а определенный результат наблюдения (коллапс) для одного заставляет дополнительный результат для другого, даже когда их отдельные состояния вначале являются неопределенными. Пока неясно, может ли корреляция в самоорганизующихся системах обладать тем же парадоксальным свойством, выраженным в нарушении неравенства Белла, которое характеризует квантовую нелокальность (Aerts, 1982). Это и роль квантовых флуктуаций вакуума при инициировании нарушения симметрии выглядят как перспективные вопросы для дальнейших исследований.

Ссылки

Aerts, D. (1982). Example of a macroscopical classical situation that violates Bell inequalities. Lettere Al Nuovo Cimento (1971–1985), 34(4), 107–111.

Aerts, D. (1998). The hidden measurement formalism: what can be explained and where quantum paradoxes remain. International journal of theoretical physics, 37(1), 291–304.

Aerts, D. (2009). Quantum structure in cognition. Journal of Mathematical Psychology, 53(5), 314– 348.

Aerts, D., Gabora, L., Sozzo, S., & Veloz, T. (2011). Quantum structure in cognition: fundamentals and applications. arXiv preprint arXiv:1104.3344.

Ashby, W. R. (1962). Principles of the self-organizing system. In H. von Foerster & G. W. Zopf (Eds.), Principles of Self-Organization (pp. 255–278). Pergamon Press. Retrieved from http://csis.pace.edu/

Aspect, A. (2007). Quantum mechanics: to be or not to be local. Nature, 446(7138), 866.

Ball, P. (2012). Why Society is a Complex Matter: Meeting Twenty-first Century Challenges with a New Kind of Science (2012th ed.). New York: Springer.

Bodenschatz, E., Pesch, W., & Ahlers, G. (2000). Recent Developments in Rayleigh-Bénard Convection. Annual Review of Fluid Mechanics, 32(1), 709–778. doi:10.1146/annurev.fluid.32.1.709

Bruza, P. D., Wang, Z., & Busemeyer, J. R. (2015). Quantum cognition: a new theoretical approach to psychology. Trends in cognitive sciences, 19(7), 383–393.

Castellani, E. (2003). On the meaning of symmetry breaking. Symmetries in physics: Philosophical reflections, 321–334.

Dehaene, S. (2014). Consciousness and the Brain: Deciphering How the Brain Codes Our Thoughts. Penguin.

Dirac, P. A. M. (1981). The principles of quantum mechanics. Oxford university press.

Eberhard, P. H., & Ross, R. R. (1989). Quantum field theory cannot provide faster-than-light communication. Foundations of Physics Letters, 2(2), 127–149. doi:10.1007/BF00696109

Ghirardi, G. C., Grassi, R., Rimini, A., & Weber, T. (1988). Experiments of the EPR Type Involving CP -Violation Do not Allow Faster-than-Light Communication between Distant Observers. EPL (Europhysics Letters), 6(2), 95. doi:10.1209/0295–5075/6/2/001

Haken, H. (1977). Synergetics: an introduction: nonequilibrium phase transitions and selforganization in physics, chemistry, and biology. Springer.

Helbing, D. (2001). Traffic and related self-driven many-particle systems. Reviews of modern physics, 73(4), 1067. Retrieved from http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v73/i4/p1067_1

Helbing, D., & Molnar, P. (1998). Self-organization phenomena in pedestrian crowds. arXiv preprint cond-mat/9806152. Retrieved from http://arxiv.org/abs/cond-mat/9806152

Henrich, J., & Boyd, R. (1998). The Evolution of Conformist Transmission and the Emergence of Between-Group Differences. Evolution and Human Behavior, 19(4), 215–241

Heylighen, F. (1989). Causality as Distinction Conservation: a theory of predictability, reversibility and time order. Cybernetics and Systems, 20(5), 361–384. doi:10.1080/01969728908902213

Heylighen, F. (1990). Classical and nonclassical representations in physics II: quantum mechanics. Cybernetics and Systems, 21(5), 477–502. doi:10.1080/01969729008902255

Heylighen, F. (2001). The science of self-organization and adaptivity. The Encyclopedia of Life Support Systems, 5(3), 253–280. Retrieved from http://pespmc1.vub.ac.be/Papers/EOLSSSelf-Organiz.pdf

Heylighen, F. (2009). Complexity and Self-Organization. Encyclopedia of Library and Information Sciences, Third Edition (pp. 1215–1224). Taylor & Francis. Retrieved from http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1081/E-ELIS3-120043869

Heylighen, F., Cilliers, P., & Gershenson, C. (2007). Complexity and Philosophy. In J. Bogg & R. Geyer (Eds.), Complexity, science and society (pp. 117–134). Oxford: Radcliffe Publishing,. Retrieved from http://arxiv.org/abs/cs/0604072

Hilborn, R. C. (2004). Sea gulls, butterflies, and grasshoppers: A brief history of the butterfly effect in nonlinear dynamics. American Journal of Physics, 72(4), 425–427. Retrieved from http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/72/4/10.1119/1.1636492

Horodecki, R., Horodecki, P., Horodecki, M., & Horodecki, K. (2009). Quantum entanglement. Reviews of modern physics, 81(2), 865.

Joos, E., Zeh, H. D., Kiefer, C., Giulini, D. J., Kupsch, J., & Stamatescu, I.-O. (2013). Decoherence and the appearance of a classical world in quantum theory. Springer Science & Business Media.

Kruse, P., & Stadler, M. (2012). Ambiguity in Mind and Nature: Multistable Cognitive Phenomena. Springer Science & Business Media.

Mandl, F., & Shaw, G. (2010). Quantum Field Theory. John Wiley & Sons.

Milnor, J. W. (2006). Attractor. Scholarpedia, 1(11), 1815. doi:10.4249/scholarpedia.1815

Nicolis, G., & Prigogine, I. (1977). Self-organization in nonequilibrium systems: From dissipative structures to order through fluctuations. Wiley, New York.

Sergent, C., & Dehaene, S. (2009). PSYCHOLOGICAL SCIENCE Research Article Is Consciousness a Gradual Phenomenon? Evidence for an All-or-None Bifurcation During the Attentional Blink.

Stadler, M., & Kruse, P. (1990). Theory of Gestalt and Self-organization. Self-Steering and Cognition in Complex Systems. Gordon and Breach, New York, 142–169.

Wiseman, H. M. (2006). From Einstein’s theorem to Bell’s theorem: a history of quantum nonlocality. Contemporary Physics, 47(2), 79–88.

Zinn-Justin, J. (1996). Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press.

Zurek, W. H. (2003). Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical. Reviews of modern physics, 75(3), 715.

Related posts:

Как скачать драйвера intel на ноутбук

Сохранить pdf как картинку

Как снять педаль газа уаз буханка

Как создать папку в гугл диске