Экстраполяция в экономике как посчитать

Методы прогнозной экстраполяции

Экстраполяция (распространение прошлых и настоящих закономерностей на будущее) является наиболее распространённым методом краткосрочного прогнозирования экономических явлений.

Выделяют следующие методы экстраполяции:

экстраполяция по темпу роста;

экстраполяция по темпу прироста;

аппроксимация динамического ряда аналитическими кривыми;

При использовании методов экстраполяции исходят из предположения, что динамика развития объекта прогнозирования отмеченная за последние годы сохранится также и на ближайшую перспективу.

Экстраполяция по темпу роста

Возможны два варианта экстраполяции по темпу роста.

Вариант А. Прогнозное значение определяется по формуле:

где — темп роста, который находится из выражения:

здесь — значение показателя текущего периода;

— значение показателя предыдущего периода.

Вариант Б. Если имеется динамика за ряд предшествующих периодов, то можно использовать усредненный темп роста:

Пример. Данные об объеме реализации автомобилей фирмой «Шумахер» за последние пять лет приведены в таблице 6.

Объем продаж автомобилей фирмой «Шумахер»

Порядковый номер,

Количество проданных автомобилей, шт.

Необходимо составить прогноз объёмов продаж на 2006 год.

Вариант А: ;.

Вариант Б: ;.

Экстраполяция по темпу прироста

В данном случае также возможно применение нескольких вариантов расчета значения прогнозируемого параметра.

Вариант А. Прогнозное значение определяется по формуле:

где — темп прироста, который находится из выражения:

Вариант Б. Если имеется динамика за ряд предшествующих периодов, то можно использовать усредненный темп прироста:

; .

При прогнозировании объёмов продаж автомобилей (приведённый выше пример, таблица 6) получаем следующие варианты прогнозов:

Вариант А. ;.

Вариант Б. ;.

2.2.3. Аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями

При аппроксимации динамического ряда известными аналитическими функциями предполагается, что для прогнозирования будет использована функция, у которой форма кривой ближе всего подходит к графическому тренду. Самый простой способ выбора функции – визуальный, на основе графического изображения динамического ряда. Чаще всего для аппроксимации используются:

линейная функция ;

парабола ;

гипербола ;

логарифмическая функция ;

экспоненциальная функция ;

степенная функция .

показательная .

Каждая функция имеет свою сферу применения. Например, линейная функция используется для описания равномерно развивающихся процессов, а гипербола хорошо описывает процессы, для которых характерно насыщение рынка.

Для определения значений эмпирических коэффициентов иобычно используется метод наименьших квадратов. Суть данного метода заключается в определении таких значений эмпирических коэффициентов, которые минимизируют сумму квадратов отклонений расчётных и фактических значений динамического ряда:

где и— расчетные и фактические значения;

— число наблюдений.

Так для линейной функции имеем:

Известно, что функция имеет экстремум, если её производная равна нулю. Дифференцируя функцию по искомым переменным и приравнивая производную нулю, получаем систему линейных уравнений, решая которую найдем неизвестные эмпирические коэффициенты:

или

При прогнозировании исследуемого процесса в аналитическую зависимость подставляют вместо параметра порядковый номер следующего прогнозного периода и получают точечное значение прогнозируемого параметра. Так как прогнозируемые процессы носят вероятностный характер, то помимо точечного прогноза, как правило, определяют границы возможного изменения прогнозируемого показателя – доверительные интервалы. Ширину доверительного интервала рассчитывают по формуле:

где — коэффициент доверия по распределению Стьюдента, выбирается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности (табл. 7);

— среднее квадратическое отклонение от тренда,

;

— число параметров аналитической зависимости.

Значения коэффициента доверия по распределению Стьюдента

Уровень доверительной вероятности,

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЫНКА ПУТЕМ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ЕГО ДИНАМИКИ

Экстраполяция — это нахождение неизвестного значения динамического ряда за его пределами путем механического переноса тенденций прошлого на будущее.

Экстраполяция — наиболее часто используемый и сравнительно простой метод прогнозирования. Для ее применения нужен минимум информации, всего один динамический ряд прогнозируемого показателя, обычно за 5-7 лет (периодов). Для прогнозирования может быть использована одна из трех разновидностей экстраполяции, причем выбор конкретного способа зависит от характера имеющегося динамического ряда. Рассмотрим подробнее применение этих разновидностей на конкретных примерах.

1. Расчет прогноза по среднему уровню ряда применяется тогда, когда динамический ряд не имеет тенденции роста или снижения и его колебания относительно невелики. В этом случае в качестве прогноза может быть использовано среднее арифметическое значение показателей этого ряда.

Пример. Нужно спрогнозировать возможную продажу хлеба в торговой палатке на 7-й день, если его продажа в предыдущие шесть дней характеризуется следующими данными:

у (продажа хлеба, кг)

Решение. Нетрудно заметить, что данный динамический ряд относительно стабилен и колеблется около средней величины. Эту величину (1247 кг) можно прогнозировать как объем возможной продажи хлеба на 7-й день. Расчет проводится по формуле среднего арифметического.

Разумеется, фактическая продажа может несколько отличаться от нашего прогноза, но возможную среднюю ошибку прогноза рассчитать по формуле

где р — средняя ошибка прогноза;

d — дисперсия;

п — число показателей в динамическом ряду.

Такое значение вполне приемлемо, поскольку при краткосрочном прогнозировании допускается средняя ошибка прогноза до 5%, а в нашем случае она составляет лишь 1,6% (20,45 : 1247 х 100).

2. Прогнозирование по средним темпам роста (снижения) имеет смысл тогда, когда ряд динамики имеет устойчивую тенденцию к повышению или снижению. В этом случае предполагается, что каждый последующий член динамического ряда равен предыдущему, умноженному на средний коэффициент темпов роста К_р. Коэффициент вычисляется по формуле

Затем на основе этого коэффициента можно вычислить прогноз по формуле

где К_р — среднегодовой темп роста (снижения); у_г — начальный показатель ряда; у_п — конечный показатель ряда; y_t — прогнозируемый показатель; п — количество членов динамического ряда; к — время упреждения прогноза (число прогнозируемых интервалов).

Пример. Торговая организация обслуживает 100 тыс. жителей. Требуется рассчитать прогноз возможного объема продажи картофеля в 7-м году, если его продажа в расчете на ^/ч^л=^^эедыдущие пять лет характеризуется следующими данными:

у (продажа в расчете на 1 чел., кг)

у, = 90 х 0,98 2 = 86,44 кг = 86,44 х 100 000 = 8644 т

Таким образом, прогноз возможной продажи картофеля в 7-м году в расчете на 1 чел. составляет 86,44 кг, а в целом по торговой организации — 8 644 т.

3. Выравнивание (сглаживание) динамического ряда. Этот способ экстраполяции также применяется при наличии устойчивой тенденции роста или снижения. Тенденция развития прогнозируемого явления приблизительно описывается графиком какого-либо математического уравнения, а затем на основе подобранного уравнения рассчитывается прогноз. В схематическом виде данный метод представлен на рис. 18. В зависимости от характера динамического ряда на практике для прогнозных расчетов применяются различные математические функции. Наиболее часто используемые функции и соответствующие им графики показаны на рис. 19.

Прогнозирование развития рынка

Рис. 18. Прогнозирование развития рынка

Графики математических функций

Рис. 19. Графики математических функций

Пример. Требуется рассчитать объем потребления условного товара А в 8-м и 9-м годах (прогноз) в расчете на одного потребителя, используя фактические данные о потреблении за семь лет, которые приведены во второй графе следующей таблицы:

Динамика продажи товара в расчете на одного потребителя в 1-7 гг

Рис. 20. Динамика продажи товара в расчете на одного потребителя в 1-7 гг.

Если из второго уравнения вычесть первое, то получится, что b = 0,17. Подставив b в любое из предыдущих уравнений, можно определить значение параметра а = 6,32. Тогда прогнозное уравнение приобретает вид:

Определить пригодность этого уравнения для прогнозирования (его прогностическую ценность) можно, например, путем расчета выравненных (теоретических) значений и сравнения их с фактическими. Так, и т. д. по каждому ряду. Сравнение выравненных (расчетных) и фактических значений потребления методом “наименьших квадратов” (см. таблицу) свидетельствует о том, что подобранное уравнение весьма точно описывает фактическую тенденцию и может быть использовано для прогнозирования. Средняя ошибка прогноза, рассчитанная по формуле

говорит о высокой точности рассчитываемых прогнозов. Значения этих прогнозов составят:

На 8-й y_s год: = 6,32 + 0,17 х 8 = 7,68 шт. на 1 чел.

На 9-й у_д год: = 6,32 + 0,17 х 9 = 7,85 шт. на 1 чел.

Достоинства метода экстраполяции заключаются, прежде всего, в сравнительной несложности расчетов и небольшом объеме первичной информации. Основной недостаток этого метода связан с тем, что при его применении спрос (потребление) рассматривается только как функция времени и не учитывается влияние различных других факторов. Поэтому экстраполяция применима лишь для краткосрочного рыночного прогнозирования.

Метод экстраполяции.

Перенос из прошлого и настоящего в будущее устойчивых тенденций развития каких-либо экономических процессов и явлений называется экстраполяцией, которая используется как метод прогнозирования.

Наличие следующих допущений позволяет при исследовании использовать метод экстраполяции:

? достаточность периода времени для выявления тенденций развития;
? устойчивая динамичность и инерционность процесса, т.е. требуется время для значительных изменений его основных характеристик;
? не ожидается сильных внешних воздействий, которые могут серьезно повлиять на тенденцию развития изучаемого процесса.

Один из простых методов статистического прогнозирования — прогнозирование с помощью метода экстраполяции. Его использование оправдано при отсутствии данных, необходимых для применения более совершенных методов прогнозирования или недостаточном знании о природе изучаемого явления.

? прогнозную экстраполяцию, которая базируется на предположении об изменении факторов, определяющих динамику изучаемого процесса или явления;
? простую экстраполяцию, которая предполагает, что все факторы остаются неизменными, а действовавшие в прошлом и настоящем тенденции сохранятся в полном объеме.

Основу экстраполяции составляет изучение динамических рядов, которые представляют собой упорядоченные во времени наборы измерений показателей исследуемого объекта. Динамический анализ основывается на понятии траектории, описывающей состояние изучаемого процесса как функцию от времени: Q = Q(t), t е [0, 7] ([0, 7] — отрезок времени). Время может учитываться как непрерывно, так и по интервалам. Во втором случае функция называется динамическим рядом.

Рассматриваемый процесс представляет собой сочетание двух составляющих: регулярной составляющей (X) и случайной переменной (е_;) — именно такое предположение лежит в основе использования экстраполяции. Временной ряд может быть условно представлен в виде уравнения: Y =Х + с_г Трендом называют регулярную составляющую, которая и характеризует существующую динамику развития процесса в целом. Случайная составляющая (шумы процесса) отражает случайные колебания.

Темп роста и темп прироста, а также абсолютный прирост являются показателями развития процесса. Вычисляться показатели изменения динамического ряда могут на переменой и постоянной базе. Используются различные средние характеристики для обобщающей оценки скорости и интенсивности изменения динамического ряда, среди которых средний темп прироста и средний темп роста.

На основе изначальных эмпирических данных и параметров выбранной функции определение вида экстраполирующих функций X_t и е — это одна из задач прогнозирования и планирования в экономике.

Сочетание формальных математико-статистических методов и качественного экономического анализа называется методикой построения трендовых моделей и включает пять этапов:

1) выбор класса функции тренда. Существует более 40 временных функций, из которых надо выбрать ту, которая отражает главные особенности динамики исследуемого показателя, при этом они отличаются своими свойствами, прежде всего типом развития. (Выделяют четыре типа экономического роста: рост качественного изменения характеристик на протяжении рассматриваемого периода, постоянный, увеличивающийся, уменьшающийся.);
2) оценку параметров функции методами регрессионного анализа;
3) расчет значений формальных критериев аппроксимации. Применяют несколько формальных критериев для характеристики близости тренда к аппроксимируемому динамическому ряду: значение коэффициента детерминации, сумма квадратов отклонений значений тренда от фактических значений и т.д.;
4) анализ остаточной компоненты динамического ряда;
5) выбор функции тренда. Построение нескольких функций тренда для одного показателя — это результат предшествующих этапов.

Сопоставление значений, возможностей экономической интерпретации и использования в прогнозировании позволяют сделать выбор лучшего пути осуществления. Рассмотрим использование различных методов прогнозирования на примерах.

Метод линейной экстраполяции — прогнозные величины за определенный период времени определяются на основе среднего прироста (снижения) исследуемого показателя.

Пример. Имеются данные за определенный период об объеме валового внутреннего продукта (ВВП) страны (табл. 3.3).

Объем и прирост ВВП в 2009-2013 гг., млрд руб.

Можно рассчитать средний темп прироста за четыре года (2010—2013):

Определив средний темп прироста, можно рассчитать прогнозное значение ВВП страны на 2014 г.:

В тех случаях, когда показатели конечного прогнозного периода и базисного известны, при этом необходимо определить годовые промежуточные показатели, рассчитывая средний прирост заданный период, используют метод линейной интерполяции, т.е. способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Пример. Известны экономические показатели базисного 2013 г. и конечного прогнозного 2017 г. Рассчитав средний прирост заданный период, можно найти экономический показатель, например, 2015 г.:

Метод простой средней — применяется, когда в уравнении линейной зависимости Y = а + Ьх, коэффициент b = 0. Тогда график будет представлен прямой, параллельной горизонтальной оси графика, а прогноз будет состоять в расчете простой средней из всех имеющихся данных:

Сезонные колебания, происходящие внутри общего тренда, часто связывают с расчетом простой средней.

Пример. За ряд лет по кварталам имеются данные об объеме ВВП (табл. 3.4).

Объем ВВП в 2009-2013 гг. по кварталам, млрд руб.

Используя показатели среднего объема, можно рассчитать квартальный индекс:

I квартал = 11 721,6 : 13 502,8 = 0,87;

II квартал = 12 898,6 : 13 502,8 = 0,96;

III квартал = 14 213,0: 13 502,8 = 1,05;

IV квартал = 15 178,1 : 13 502,8 = 1,12.

Если прогнозное значение ВВП на определяемый год разделить начеты- ре (количество кварталов) и умножить на соответствующий квартальный индекс, можно будет составить прогноз объема ВВП по кварталам, например, на 2014 г.

Предположительно ВВП в 2014 г. будет равен 73 742,32 млрд руб. Тогда будет произведено:

в I квартале: 73 742,32 : 4 х 0,87 = 16 038,95;

во II квартале: 73 742,32 : 4 х 0,96 = 17 698,16;

в III квартале: 73 742,32 : 4 х 1,05 = 19 357,36;

в IV квартале: 73 742,32 : 4 х 1,12 = 20 647,85.

Метод наименьших квадратов позволяет подогнать функцию под некоторый набор численных значений и построить график функции по некоторой совокупности точек. Если стандартное отклонение, определяемое представленной ниже формулой, оказывается сведено к минимальному значению, то выбор этой функции считается наилучшим:

где d_/ — фактические данные;

108,4 + 2 х 4,7 = 117,8

108,4 + 3 х 4,7 = 122,5

108,4 + 4 x 4,7= 127,2

Система уравнений выглядит следующим образом:

При решении этой системы уравнений а = 108,4, b = 4,7. Можно рассчитать ВНП в 2014 г.:

Если провести по точкам кривой сглаживания вида Y= alf, т.е. использовать показательную функцию, можно достичь большего соответствия теоретических данных эмпирическим.

Значения коэффициентов а и b можно определить методом наименьших квадратов, если показательное уравнение логарифмировать:

log а и log b вычисляются при решении нормальных уравнений:

Если определить х таким образом, что ?х = 0, то:

Метод скользящей средней — это метод сглаживания временных рядов, используется при краткосрочном прогнозировании. С помощью этого метода можно устранить случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного периода (интервала времени). Затем период сдвигается па одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При подготовке прогноза этим методом число временных интервалов, по которым производится суммирование фактических данных, несколько больше того числа, которое было установлено и которое желательно иметь для проведения необходимых расчетов. Суммарная продолжительность всех периодов должна быть равна одному году — это вызвано необходимостью выравнивания сезонных колебаний, которое происходит в силу того, что крайние значения тренда имеют тенденцию к взаимному погашению. Уменьшение чувствительности прогноза к данным последних периодов и увеличение эффекта сглаживания — это последствие вовлечения в расчет скользящей средней большего числа временных периодов.

Движение скользящей средней во времени позволяет отказаться от использования старых данных и учесть самую последнюю информацию. Создать качественный прогноз при использовании скользящей средней можно, лишь имея относительно стабильные данные.

Улучшить качество прогноза позволяет индекс сезонных колебаний, рассчитанный на основе скользящей средней. Деление объема фактического производства в соответствующем периоде на величину центрированной скользящей средней за тот же период приводит к значению индекса. Усреднение значения нескольких индексов общих временных периодов может повысить надежность прогноза.

Пример. Данные о квартальных объемах производства необходимо использовать для разработки прогноза на 2015 г. При разбивке года на кварталы определяются скользящие средние. Скользящую среднюю только за II квартал 2010 г. можно рассчитать путем деления суммы данных за четыре квартала данного года на 4:

(190 + 370 + 300 + 220): 4 = 270.

Для расчета следующей скользящей средней необходимы данные за II- IV кварталы 2010 г. и I квартал 2011 г. Аналогичны расчеты и для следующих скользящих.

Для третьего квартала центрированная скользящая средняя находится путем деления суммы данных скользящей средней за II и III кварталы 2010 г.:

(270 + 292): 2 = 281.

Подобно проводятся дальнейшие расчеты при замене одного значения другим.

Деление фактического объема производства на величину центрированной скользящей средней за тот же период показывает индекс сезонных колебаний. Для III квартала 2010 г.:

В таблице 3.6 представлены расчеты значений скользящей средней, центрированной скользящей средней и индексов сезонных колебаний в 2010— 2014 гг.

Расчет значений скользящей средней и индексов сезонных колебаний в 2010-2014 гг.

Пример экстраполяции в экономическом прогнозировании

В современных условиях развития рыночных отношений, реализации принципов федерализма, становления местного самоуправления возрастает роль региональных демографических прогнозов. Состав демографических факторов, характер их влияния своеобразны для каждого региона. Для одних огромное значение имеет миграционный фактор (Ставропольский край, Ростовская область), для других — природно-климатический (Север России), для третьих — последствия событий прошлых лет (Центральные районы России), для четвертых — национальные особенности (Юг России) и др. Региональные демографические прогнозы разрабатываются на уровне крупных, средних и малых регионов.

В качестве исходных показателей для прогнозирования демографических процессов в Оренбургской области, возьмем показатели:

-численности постоянного населения на 1 января;
-число родившихся и умерших человек за год (естественное движение населения);
-число прибывших и выбывших человек за год (миграционное движение населения), представленные на сайте Федеральной службы государственной статистики РФ.

Рассчитаем прогнозные значения данных показателей, используя методы экстраполяции: скользящих средних. Прогноз должен иметь высокую точность, ошибка прогноза будет тем меньше, чем меньше период (срок) упреждения и чем больше база прогноза.

Период (срок) упреждения — это интервал времени, на который разрабатывается прогноз. База прогноза — это статистическая информация за ряд лет, на которую мы опираемся при построении расчетов. Срок упреждения должен составлять не более 1/3 базы прогноза. В данной работе будем использовать базы прогноза за 19-20 лет и находить прогнозные значения на трехлетний период.

Для оценки точности прогнозов, построенных методом экстраполяции, существуют несколько способов.