Симметричные числа. Абсолютная величина
Симметричные числа. Абсолютная величина. Здесь для каждого действительного числа a докажем, что существует число (которое симметрично с ним) a-это условие a (a)= 0. Кроме того, достаточно ограничить себя в случае неразумного количества. Мы определяем число-a следующим образом, предполагая, что число a определяется Разделом A \ A.Низший класс A-это число-и присваивает все рациональные числа-A \ это «любое число класса A» и、 Назначьте все числа классу A для этого числа-a, где a-любое число классов A. Укажите это число-а. Теперь, убедитесь, что вы соответствуете вышеуказанным условиям. используя определение самого-b, вы можете видеть, что сумма+ (a)-это действительное число, заключенное в число в форме a-a ’и a’ a. где a и a-рациональные числа и являются as.
- Но очевидно, что а-а ’0 а’ а、 Таким образом, число 0 находится между указанными выше числами. Рассмотрим уникальность числа, которому принадлежит это свойство、 И H (a)= 0、 Если вам нужно доказать. Кроме того, число, симметричное данному числу, уникально и обладает свойствами ( ))=.,(++Р)=(-))+(—Е). Разность a и p (представленная a и a-p) есть число 7, удовлетворяющее условию 7 + P = (или(3 + 7 = a). Исходя из характеристик сложения, легко указать, что такое число равно 7 = a|-(-E). м + р = [» +( -?()] + P = » + [(P)+ И = «+ Нет. +（-»] = «+°=»Установлена также уникальность различия. СВОЙСТВО 4) из pv7 теперь мы можем сделать полезные замечания о равенстве неравенств a> p и a-(3> 0.
- Это позволяет вам установить-a-p, что A> p подразумевает. Наконец, понятие абсолютного значения числа связано с понятием симметричных чисел. Из конфигурации числа симметрии a> 0 требует 0, а a> 0 из 0.In другими словами, Только для Φ0 из 2 чисел a и -, 1 (и только 1) больше, чем zero. It называется точно абсолютное значение как числа а, так и числа-а, обозначаемого знаком. Я » 1=| -. Предполагается, что абсолютное значение числа ноль равно нулю: 101 = 0. Для следующих целей мы сделаем еще 2 утверждения об абсолютной величине: Во-первых, мы устанавливаем, что неравенства справедливы. | p (конечно, p> 0) эквивалентно двойному неравенству: p a p.
- Действительно, из| p следует одновременно с p и-A p, то есть после a>-p. и наоборот, если задано с p и b>-p, то одновременно есть p и-A P. Но так как 1 A-a из этих чисел есть| a|, то это, вероятно,| / r. Точно так же получается, что неравенства эквивалентны. ！И я ^ Е и-п а ^ п. Кроме того, это окажется полезным неравенством | «+ ПК1 » / + 1м. Обобщение очевидных неравенств |А | ^ А Л И-| р | р / р | Мы получаем -(1 «1 + 1P1X» + М + Ж、 Здесь, с приведенными выше замечаниями, следует необходимое неравенство. Используя математическую индукцию, доказанное неравенство распространяется на случай любого числа членов. Кроме того, он легко доступен. 1 «+ P12z | » | / P1. Точно так же | а | / р | | | р / ^ | а/+!п |. От обоих | П | | » | ^ / «Р1、 И тогда, очевидно, Все эти неравенства помогут много раз позже.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Симметрия в алгебре
Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность) пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине.
Виды симметрии
Рассмотрим три основных вида симметрии:
- центральная симметрия
- осевая симметрия
- зеркальная симметрия
Центральная симметрия
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.
Например: точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки O , если точка O является серединой отрезка MM1. Точка O называется центром симметрии.
Осевая симметрия
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Например: точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия-это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости а.
Примеры числовых симметрий
В записи чисел: 101,1221,67076 и т.д.
Симметрия в выражениях:
Симметрические уравнения
Симметрические уравнения
Симметрические уравнения
Другие примеры симметрических уравнений:
Примеры симметрии графиков
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Примеры симметрии графиков
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Симметрия в широком смысле-это неизменность при каких либо преобразованиях. Математики издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии. И такие «красивые» формулы не только делают преобразования красивыми, но и значительно облегчают вычислительную работу
Что такое симметричное число
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Сначала перечислим двузначные симметричные числа:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 — всего 9 чисел.
Трёхзначные симметричные числа получаются из каждого двухзначных чисел добавлением между цифрами этих симметричных двузначных чисел одну цифру. Этими цифрами могут быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять. Тогда получаем ещё 9·10=90 чисел.
Четырёхзначные симметричные числа получаются из каждого двухзначных чисел добавлением между цифрами этих симметричных двузначных чисел симметричные числа, при этом можно добавит и 00.
Но, в задаче дано ограничение: от 10 до 2016. Поэтому получаем:
1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, 2002 — всего 11 чисел.
Загадка простых чисел и теория симметрии
Добрый день всем! Это мой первый пост на Пикабу, прошу не судить строго. Это пост-вопрос по математике.
Я увлекаюсь несложными загадками математики, и особенно меня привлекла загадка простых чисел. А именно — существует ли формула для их нахождения.
И вот, перебирая всякие варианты, мне бросилась в глаза "простая" (каламбур) мысль — ведь по сути, все простые числа отличаются от составных тем, что у них доступно меньше симметричных преобразований. Если 60 делится без остатка на 5 чисел, то 57 только на себя и на единицу.
Тут я стал копать по симметрии, и выяснил, что, оказывается, огромная часть последних достижений в математике и физике, в частности, доказательство теоремы Ферма, или Стандартная теория — они практически целиком основаны на теории симметрий, которую очень завуалированно называют "теория групп" (видимо, чтобы никто не догадался).
Это ещё более убедило меня в правильности моих догадок.
Так вот, мой вопрос — поскольку мои знания теории групп стремятся к нулю, хотелось бы спросить у людей знающих — а нельзя ли из свойств группы симметрии, к которой принадлежат все простые числа, вывести некие закономерности, которые позволили бы без проведения факторизации определить, простое число или нет?
Буду очень признателен за ответ.
Эй, математик, притормози!
57 делится ещё на 19 и на 3
быстрогугл дал эту ссылку
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%81%D1%82_%D0%9.
Тест Агравала — Каяла — Саксены (тест AKS) — единственный известный на данный момент универсальный (то есть применимый ко всем числам) полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от недоказанных гипотез) тест простоты чисел
Бля! «Перельман», в понедельник у математички спросишь..
Математик и чёрт, 1972, FullHD, AI REMASTERED
Отреставрировал нейросетями советский художественно-научно-популярный фильм «Математика и чёрт», 1972. Про то, как черт (Кайдановский!) предлагает ученому продать душу за исполнение желания, Математик, не будь дураком, просит решить теорему Ферма) Чёрт наивно соглашается — он и не такие вопросики решал! — и постепенно понимает, как встрял)) Но и втягивается)))
Такой заход позволяет познакомить зрителя с проблемой, путями решения, получается интересное кино по истории науки)
Фильм реально любопытный, я решил, что именно такое кино и надо апскейлить!
Кому интересно такое — я сначала выкладываю в свой тг-канал, там же и скачать можно, если из ВК удалят) Плюс там обзоры фильмов, шутеечки, всё такое)
Как устроена музыкальная гармония. Пространство кратностей – математик Роман Олейников | Научпоп
Что общего между фортепианной клавиатурой и построчной развёрткой телевизора? 😉 Сколько измерений можно выделить в музыкальной гармонии и что это за измерения? Что такое пространство кратностей и как оно помогает понимать и создавать новую музыку? Почему для построения музыкальной гармонии важны простые числа и что такое микрохроматика? Рассказывает Роман Олейников, математик, музыкальный теоретик, соавтор канала Пространство музыки (Science 4 Music), сотрудник лаборатории биомеханических систем Института машиноведения РАН.
«Математика» калейдоскопа | Лекции по математике – математик Николай Андреев | Научпоп
Как устроена игрушка-калейдоскоп с математической точки зрения? Как сделать калейдоскоп из двух зеркал? На каких геометрических фигурах можно строить калейдоскопы и что произойдёт, если попробовать использовать что-то другое? В чём заключается свойство калейдоскопичности и какой раздел математики описывает связанные с ним закономерности? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Создаем бионический протез руки, нужны советы понимающих людей
В теории принцип такой, на каждый палец приходит пневмоцилиндр с ходом 4 см и максимальной тягой 8 кг, на каждый палец приходит два микрокомрессора суммарно нагнетающие 0.7 мпа ( один из компрессоров работает всегда, для малых нагрузок, второй тяговый для максимальной силы хвата). К пальцам идут нити, проходящие по катушкам, чтобы контролировать движение и при сгибании, и при разгибании, клапан перед цилиндром приоткрывается и сила сжатия становится меньше (для этого нужны формулы, которые мы сейчас выводим). Главный вопрос, имеет ли такая конструкция будущее и достаточный ли в ней функционал, при суммарном бюджете на руку около 30 тысяч рублей. В команде не хватает человека, отлично знающего анатомия, поэтому важный вопрос: хватит ли 10 мышц на управление всей конструкцией. Наша команда принимает любую критику, воспринимает советы и т.п. поэтому прошу нам помочь
Когда вложил баллы в интеллект, пожертвовав удачей
Адриен Мари Лежандр доказал кучу важных теорем, поучаствовал в создании эталона метра, заслуженно получил место в списке величайших учёных Франции и кратер на Луне, названный в его честь. Это одна из фамилий, постоянно встречающаяся при получении технического образования. У студентов могла бы быть игра – выпивать, когда в учебнике встречается фамилия Лежандра, но эта роль уже занята Эйлером
Однако описание жизни Лежандра похоже на грустную комедию. Вот несколько фактов с Википедии:
• Лежандра преследовал злой рок — стоило ему сделать выдающееся открытие, как тут же оказывалось, что другой математик сделал то же самое немного раньше
• Даже те его открытия, приоритет которых никто не оспаривал, часто в скором времени перекрывались чужими, более общими результатами
• Из-за бюрократической ошибки пенсия Лежандра была отменена в 1824 году, и остаток своих дней он прожил в нужде
Завершает эту череду неудач то, что не сохранилось ни одного портрета Лежандра, кроме карикатуры. Теперь когда нужно проиллюстрировать вклад учёного, его изображают так:
Более того, почти 200 лет для иллюстрации его трудов использовали портрет другого человека с той же фамилией. Лишь в 2005 году благодаря двум студентам, это недоразумение удалось обнаружить
Вот что бывает, когда вложил все баллы в интеллект, пожертвовав удачей
Число Пи: как считали и наглядное определение | Лекции по математике – Николай Андреев | Научпоп
Что такое число Пи и как определить его наглядно? Каким образом математики прошлого пытались рассчитать его точное значение? Можно ли в десятичной записи числа Пи встретить любую последовательность цифр? Как узнать на какой позиции в числе Пи можно отыскать дату своего дня рождения?
Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Алексей Савватеев о популяризации математики | Научпоп
Мы продолжаем цикл, посвящённый популяризации науки в России. Вы узнаете мнение наших лекторов о том, какой должна быть популяризация науки, её проблемах и достижениях, социальном и практическом значении, о том, как они пришли к этой деятельности, и зачем ею необходимо заниматься.
Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Шарнирные механизмы | Лекции по математике – математик Николай Андреев | Научпоп
Задумывались ли вы, как работают стеклоочистители автомобиля? Что такое шарнирные механизмы и где они применяются? Как перевести движение по окружности в движение по прямой? Какие удивительные механизмы разрабатывал великий русский математик и механик П. Л. Чебышев и для каких задач они применялись?
Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Фигуры постоянной ширины | Лекции по математике – математик Николай Андреев | Научпоп
Почему крышки люков делают круглыми? Что такое фигура постоянной ширины? Какими интересными свойствами обладает треугольник Рело и как его построить? Почему английская 20-пенсовая монета имеет такую необычную форму? Как и чем сверлят квадратные отверстия? Что представляют собой фигуры постоянной ширины в трёхмерном пространстве и какая открытая математическая проблема с ними связана? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
«В школе вас обманывали!» — Или почему простые числа не так просты?
Мы все когда-то изучали простые числа, вам сейчас любой пятиклассник (конечно, достаточно добросовестный, чтобы учить уроки) объяснит, что это такое, приведет парочку примеров и на коленке разложит какое-нибудь небольшое число на простые множители. А вот многие люди постарше наверняка уже не помнят такие фокусы, да и зачем? «Ерунда, опять какие-то школьные флэшбеки и знания, совершенно не нужные в жизни. Я этими вашими простыми числами нигде, кроме школы, не пользовался», — спешу заверить, пользовались и не раз. Скажу больше, они не только составляют важную часть нашей повседневной жизни, но и связаны с одними из величайших вопросов науки, до сих пор не имеющих ответов.
Простые числа вполне оправдывают свое название – это всего лишь натуральные числа, которые делятся без остатка на себя и единицу. Все остальные числа называют составными, так как они строятся из простых, словно из «кирпичиков». Легко вспомнить несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее (единица к ним не относится). Проще некуда, да? Но вот эти незамысловатые «математические атомы» уже на протяжении долгого времени будоражат умы ученых.
Люди имеют представление о простых числах еще с древности, а первые попытки их анализа берут истоки в Древней Греции (да, опять эти греки всех переиграли). В знаменитом труде Евклида «Начала» впервые задокументирована одна из интерпретаций фундаментальной теоремы о простых числах, настолько важной, что ее величают «основной теоремой арифметики». Она гласит, что любое натуральное число больше единицы можно разложить на простые множители причем одним единственным способом. Вот вам задачка средней школы – найти простые множители числа 42. Ну, очевидно, что сначала мы делим на два, получим 21. А 21 это три умножить на семь. 2, 3 и 7 как мы знаем – простые числа, значит, ответ: 42=2х3х7.
Это легко только на первый взгляд, ведь число может быть больше, и совсем не обязательно оно имеет очевидные делители (навскидку попробуйте разложить число 221). Охота за простыми числами стала довольно популярна в эпоху Возрождения, причем, не имея практической ценности, она была своеобразной забавой для математиков *вот так развлекались во времена без телефонов* – только теперь они стали искать числа не в лоб, а применяя формулы, впрочем, не всегда эффективные.
Важным событием стала публикация французского монаха XVII века Марена Мерсенна формулы M=2^n – 1 (где n – простое число), после которой люди бросились применять ее на практике. Эта короткая запись позволяет находить большие простые числа гораздо чаще метода прямого перебора. Например, пятое число Мерсенна (n=13) равно 2^13 – 1 = 8191. Без формулы до такого результата еще долго бы добирались, но тем не менее она работает не всегда: число 11 – тоже простое, по формуле 2^11 – 1 = 2047, а оно раскладывается на 23 и 89.
Разумеется, сейчас охота за числами Мерсенна ведется исключительно с помощью компьютеров, для этого в 1996 году даже организовали целый проект «Great Internet Mersenne Prime Search» — наиболее масштабный в своем роде, где добровольцы со всех уголков мира ищут самые большие простые числа. На сегодняшний день рекордным остается результат вычислений 2018 года Патрика Ляроша: 2^82 589 933 – 1. Это пятьдесят первое найденное число Мерсенна состоит из 82 589 933 умножений двоек, уменьшенных на единицу, а всего в его записи 24 862 048 цифр.
Тут нужно небольшое сравнение, например, по космическому летоисчислению с момента Большого Взрыва прошло не больше 10^18 секунд, у этого числа 19 знаков в записи. У M(51) их около 25к, и чтобы посмотреть, как же оно выглядит, вам придется сначала скачать десятистраничный файл с официального сайта. Доказательство того, что оно простое, заняло двенадцать дней непрерывных вычислений на машине с процессором Intel i5-4590T: надеюсь, это вам уже не кажется примитивной школьной задачкой? По традиции авторы открытия отметили свой успех, откупорив бутылку шампанского. Забавно, что некоторые до сих пор так проводят свой досуг.
Как вы уже заметили, фишка простых чисел заключается в том, что мы можем взять из них определенный набор, перемножить и получить огромное составное число, а вот обратный процесс поиска простых делителей (особенно если эти делители большие) или доказательства простоты невероятно трудоемок. На этом свойстве основан наш самый распространенный алгоритм защиты электронных данных – RSA (по фамилиям его изобретателей Rivest, Shamir и Adleman). Каждый раз, вводя пинкод своей карты в банкомате, вы запускаете процесс идентификации, основанный на теории простых чисел: взломать карту не невозможно, но прямая расшифровка без специального «ключа» (которым владеет только банк) – займет колоссальное количество времени, так что даже пытаться, по сути, бессмысленно. Криптографический алгоритм RSA используется как основа для других более сложных систем шифрования, для создания уникальной цифровой подписи, и, если вдруг будет найден быстрый способ его дешифровки, нас ждет полный цифровой коллапс.
Простые числа порой находят применение и в природе. Самый популярный пример – периодичные цикады Северной Америки, у части видов которых цикл жизни составляет 13, а у других 17 лет. Разумеется, такое странное совпадение вызвало интерес ученых, и на сегодняшний день есть две гипотезы, обе основанные на свойствах простых чисел. Первая гласит, что подобный цикл защищает их от хищников. Допустим, появляется некий хищник, питающийся цикадами, которые вылупляются раз в 13 лет (а потом за неделю самовыпиливаются). Жизненный цикл самого хищника меньше, например, 5 лет. Тогда, следующее одновременное рождение хищников и вылупление личинок, грозящее маленьким цикадам смертью, будет лишь через 65 лет. Это ключевое утверждение, ведь если n — простое число (13 лет), а p (5 лет) < n , то их наименьшее общее кратное равно их произведению — np (13х5=65).
Второй момент: такой жизненный цикл позволяет «разминуться» не только с хищниками, но и со своими сородичами, имеющими другую продолжительность жизненного цикла. Первое совпадение вылуплений у двух видов цикад случится только через 13х17 лет, то есть через 221 год (ответ на вопрос из 4го абзаца). Возможно, если бы разные виды цикад появлялись одновременно, это привело бы к близковидовому скрещиванию и появлению потомства с нерегулярным циклом.
Простые числа изучают уже очень давно, но вы удивитесь, узнав, что мы до сих пор не имеем никакой волшебной формулы, чтобы предсказать, где они находятся на числовом ряду. Давайте-ка еще раз. Если нам даны числа от единицы до бесконечности, мы не знаем, как точно вычислить среди них простые. Чего только ученые не напридумывали, чтобы хоть как-то формализировать их местоположение: складывается ощущение, что они появляются совершенно спонтанно, не имея никакой закономерности. С другой стороны, это-то и позволяет нам спокойно использовать RSA-шифрование, так что проблема невелика, но ведь у нас имеются и другие недоказанные гипотезы в этой области, например, гипотеза Гольдьбаха. Она утверждает, что что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых. Например, 8=3+5; 24=13+11 и так далее. Выглядит не страшно, но вот доказательства гипотезы до сих пор нет: уже проверены сотни четных чисел, и все они удовлетворяют условию, но для математиков это пустые слова. Достаточно одного исключения из правила, чтобы гипотеза стала ошибочной.
Однако, наверное, самой волнующей, самой известной и сложной задачей, является гипотеза Римана о распределении простых чисел (которую я здесь расписать точно не смогу, но не сказать о ней нельзя, так что просто проникнитесь ее важностью) – одна из семи проблем тысячелетия, семи математических задач, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году, за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Ей посвящают диссертации, книги, над ней бьются целых 160 лет(!), но она все еще остается в статусе «нерешенной». Говорят, что Давид Гильберт (лидер математического сообщества начала ХХ века) однажды сказал, что, если он уснет на тысячу лет, первое, о чем он спросит, проснувшись – доказана ли уже гипотеза Римана.
В общем, нас с детства обманывали: простые числа, оказывается, нифига не простые, причем настолько, что защищают наши банковские данные от мошенников, маленьких цикад от покушений хищников, и параллельно сводят с ума бедных математиков.
Эта «заметка на коленке» была сделана специально для конкурса, но, если вдруг дело выгорит, можно будет потом добавить еще пару слов, ведь по закону сохранения энергии: затраченная автором работа должна равняться количеству теплоты реакции подпищеков.