Сколько диагоналей имеет выпуклый десятиугольник

Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике?

Давайте посчитаем. Выпуклый десятиугольник имеет 10 углов или вершин. Из каждой такой вершины можно провести по семь диагоналей — то есть ко всем остальным вершинам, кроме двух соседних. Тогда если перемножить семь диагоналей от каждой вершины на общее число вершин получим число 70. Однако, при этом подсчете мы учитываем каждую диагональ два раза — от вершины скажем А к В и от вершины В к А в обратном направлении. Значит число 70 следует поделить на 2 и получаем 35. Ответ в выпуклом десятиугольнике 35 диагоналей.

В принципе, в математике есть для такого подсчета специальная формула, но гораздо лучше самому разобраться, что в ней откуда берется.

5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 128

570. а) Что называют многоугольником?
б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?
в) Что называют периметром многоугольника?
г) Какой многоугольник называют выпуклым?
д) Какие многоугольники называют равными?

а) Фигуру, образованную ломаной линией, конец которой совпадает с её началом (замкнутая ломаная), при условии, что никакие два звена ломаной не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной, называют многоугольником.
б) Звенья ломаной называют сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, — углами многоугольника, а эти вершины углов — вершинами многоугольника.
в) Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром.
г) Многоугольник называют выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
д) Два многоугольника называют равными, если их можно совместить при наложении.

571. Постройте пятиугольник ABCDE. Назовите все его стороны и вершины.

572. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезка AC и BD — диагонали (рис. 119). Сколько диагоналей в выпуклом:
а) четырёхугольнике;
б) пятиугольнике;
в) шестиугольнике;
г) семиугольнике?

Пусть многоугольник имеет n вершин. Тогда из каждой вершины выходит (n — 3) диагоналей: 1 — сама вершина и 2 — соседние вершины.
Так как диагональ соединяет 2 вершины, значит необходимо (n — 3) разделить пополам и умножить на количество вершин, тогда мы получим, что количество диагоналей n-угольника равняется n • (n — 3) : 2.
а) 4 • (4 — 3) : 2 = 4 • 1 : 2 = 2 (диагонали) — в выпуклом четырёхугольнике;
б) 5 • (5 — 3) : 2 = 5 • 2 : 2 = 10 : 2 = 5 (диагоналей) — в выпуклом пятиугольнике;
в) 6 • (6 — 3) : 2 = 6 • 3 : 2 = 18 : 2 = 9 (диагоналей) — в выпуклом шестиугольнике;
г) 7 • (7 — 3) : 2 = 7 • 4 : 2 = 28 : 2 = 14 (диагоналей) — в выпуклом семиугольнике.

573. Сколько диагоналей в выпуклом: а) десятиугольнике; б) двадцатиугольнике?

а) 10 • (10 — 3) : 2 = 10 • 7 : 2 = 35 (диагоналей) — в выпуклом десятиугольнике;
б) 20 • (20 — 3) : 2 = 20 • 17 : 2 = 170 (диагоналей) — в выпуклом двадцатиугольнике.

Исследуем

574. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.

а) Зависимость: (число диагоналей выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, на 3 меньше, чем сторон этого многоугольника)

n	4	5	6	7	8	9	10	11	12
d	1	2	3	4	5	6	7	8	9

575. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника от числа его сторон (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.

Десятиугольник, виды, свойства и формулы

Десятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно десяти.

Десятиугольник, выпуклый и невыпуклый десятиугольник:

Десятиугольник – это многоугольник с десятью углами.

Десятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно десяти.

Десятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый десятиугольник – это десятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Звёздчатый десятиугольник – десятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного десятиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого десятиугольника могут пересекаться между собой.

Рис. 1. Выпуклый десятиугольник

Рис. 2. Невыпуклый десятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого десятиугольника равна 1440°.

Правильный десятиугольник (понятие и определение):

Правильный десятиугольник (декагон) – это правильный многоугольник с десятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный десятиугольник – это десятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 144°.

Рис. 3. Правильный десятиугольник

Правильный десятиугольник имеет 10 сторон, 10 углов и 10 вершин.

Углы правильного десятиугольника образуют десять равнобедренных треугольников .

Правильный десятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение правильного десятиугольника:

1. Постройте сначала правильный пятиугольник .
2. Соедините все его (правильного пятиугольника) вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соедините по порядку вершины правильного пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Свойства правильного десятиугольника:

1. Все стороны правильного десятиугольника равны между собой.

1. Все углы равны между собой и составляют 144°.

Рис. 4. Правильный десятиугольник

1. Сумма внутренних углов любого правильного десятиугольника равна 1440°.
2. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного десятиугольника O.

Рис. 5. Правильный десятиугольник

1. Количество диагоналей правильного десятиугольника равно 35.

Рис. 6. Правильный десятиугольник

(из каждой вершины правильного десятиугольника выходит 7 диагоналей)

1. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный десятиугольник

Формулы правильного десятиугольника:

Пусть a – сторона десятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в десятиугольник, R – радиус описанной окружности десятиугольника, P – периметр десятиугольника, S – площадь десятиугольника.

Формулы стороны правильного десятиугольника:

Формулы периметра правильного десятиугольника:

Формулы площади правильного десятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный десятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного десятиугольника:

сколько диагоналей у десятиугольника?

Итак, от одной верхушки проведем диагонали (вершин всего 10, минус одна от которой мы проводим, получаем, что провели к 9 вершинам, НО: мы не можем провести диагонали к двум примыкающим, соответственно получаем, что и две вершины надобно отнять получаем что проведено диагоналей от одной верхушки 7)
Означает мы из числа вершин вычли 3!

Итак сейчас умножаем на все верхушки этого десятиугольника приобретенные нам диагонали (а их 7). Вопрос для чего это? мы же проводим от каждой верхушки по семь диагоналей, а вершин у нас всего 10. и таким образом мы умножаем 7 на 10 и получаем 70
Означает потом приобретенное число диагоналей от одной верхушки умножаем на все вершины.

И заключительный момент. Верхушки могут повторяться! То есть проведя от одной вершины к иной, проведенную диагональ от иной вершины к этой первой теснее считаться не будет. Значит нам стоит повторы исключить, а конкретно просто поделит на два, из чего получи 35
Означает творение диагоналей от одной вершины и всех вершин мы разделяем на 2

Давайте посчитаем. Выпуклый десятиугольник имеет 10 углов либо вершин. Из каждой таковой верхушки можно провести по семь диагоналей — то есть ко всем остальным верхушкам, кроме двух примыкающих. Тогда если перемножить семь диагоналей от каждой верхушки на общее число вершин получим число 70. Но, при этом подсчете мы учитываем каждую диагональ два раза — от вершины скажем А к В и от вершины В к А в оборотном направлении. Значит число 70 следует поделить на 2 и получаем 35. Ответ в выпуклом десятиугольнике 35 диагоналей.

В принципе, в математике есть для такового подсчета особая формула, но гораздо лучше самому разобраться, что в ней откуда берется.