Как считать комплексные числа на калькуляторе

Операции с комплексными числами на инженерных калькуляторах

Первое на что нужно обратить внимание при включении калькулятора это, в каких единицах измеряются углы.

Возможные варианты DEG, RAD, GRAD

Обозначение	Название	В прямом угле
DEG или D	градусы	90°
RAD или R	радианы	π/2 рад (1.57рад)
GRAD или G	грады	100 град

Обычно в расчётах используют градусы, поэтому на дисплее калькулятора должно гореть DEG (или D).

На калькуляторе над кнопками располагают «вторую функцию» (англ. second functions сокращённо 2ndf)

Пример перевода комплексного числа из одной формы записи в другую на калькуляторе

Требуется перевести z = 1.41e-j45 в алгебраическую форму записи: набрать [1.41] нажать [а] (заносим в память модуль) набрать [45] нажать [+/-](ставим минус перед 45) нажать [b] (заносим в память аргумент) нажать [2ndf] нажать [→xy] (в алгебраическую форму) На табло появился действительная часть нажать [b]. На табло появилась мнимая часть -1 z = 1.41e-j45=1 — j1

Требуется перевести z = 1 — j1 в показательную форму записи: набрать [1] нажать [а] (заносим в память действительную часть) набрать [1] нажать [+/-](ставим минус перед 1) нажать [b] (заносим в память мнимую часть) нажать [2ndf] нажать [→rθ] (в показательную форму) На табло появился модуль 1.414213562 нажать [b] На табло появился угол — 45 z = 1 — j1 = 1.41e-j45

Требуется перевести z = 1.41e-j45 в алгебраическую форму записи: нажать [2ndf] [Rec( ] набрать [1.41] нажать [ , ] нажать [( — )] (ставим минус перед 45) набрать [45]скобку можно не закрывать) нажать [=] На табло появился действительная часть ажать [RCL] + F (над кнопкой [tan]). На табло появилась мнимая часть -1 z = 1.41e-j45=1 — j1

Требуется перевести z = 1 — j1 в показательную форму записи: нажать [pol( ] набрать [1] нажать [ , ] нажать [( — )](ставим минус перед 1) набрать [1] (скобку можно не закрывать) нажать [=] На табло появился модуль 1.414213562 нажать [RCL] + F (над кнопкой [tan]) На табло появился угол — 45 При повторном нажатии [RCL] + E выводится модуль,а [RCL] + F — угол z = 1 — j1 = 1.41e-j45

Требуется перевести z = 1.41e-j45 в алгебраическую форму записи: набрать [1.41] нажать [P→R] набрать [45] нажать[+/-] (ставим минус перед 45) нажать [=] На табло появился действительная часть нажать [SHIFT], а затем [X↔Y] На табло появилась мнимая часть -1 z = 1.41e-j45=1 — j1

Требуется перевести z = 1 — j1 в показательную форму записи: набрать [1] нажать [SHIFT] нажать [R→P] нажать [+/-] (ставим минус перед 1) нажать [=] На табло появился модуль 1.414213562 нажать [SHIFT], а затем [X↔Y] На табло появился угол — 45 При повторном нажатии [X↔Y] выводится модуль,а еще раз [X↔Y] — угол z = 1 — j1 = 1.41e-j45

Пример расчета комплексных чисел на калькуляторе

1. Нажимаем [MODE] и выбираем режим CMPLX нажатием [2].

2. Нажимаем [MODE], пока не появится Disp затем нажимаем [►] и выбираем способ вывода комплексного числа

a + bi [1] или rAθ [2].(по умолчанию способ вывода a + bi)

3. Если способ вывода комплексного числа a + bi, то [SHIFT] [►rAθ] следует использовать для перевода результата в показательную форму записи

4. Чтобы просматривать действительную и мнимую часть (либо модуль и угол) [SHIFT] [Re ↔ Im]

Допустим, что способ вывода комплексного числа установлен a + bi.

Пусть надо найти разность

15.4e-j 26.2 – 1.98ej 35.4,

а ответ получить в показательной форме.

15.4 [SHIFT] [A] [(-)] 26.2 [–] 1.98 [SHIFT] [A] 35.4 [SHIFT] [►rAθ] [=]

Получаем модуль 14.56279277, нажимаем [SHIFT] [Re ↔ Im] и видим угол -33.06899487

15.4e-j 26.2 – 1.98ej 35.4= 14.56ej 33.1

Пусть надо найти произведение

а ответ получить в алгебраической форме.

[(] 10 [–] 20 [ i ] [)] [•] 30 [SHIFT] [A] 40 [=]

Получаем действительную часть 615.4858987, нажимаем [SHIFT] [Re ↔ Im] и видим мнимую часть -266.790383

(10 – j20)• 30ej40= 615.49 -j266.79

Кнопка CPLX включает (отключает) режим работы с комплексными числами.

нажать [2ndf] [CPLX]

ВАЖНО ПОМНИТЬ, что при всех операциях с комплексами в этом режиме оба числа должны быть представлены в алгебраической форме. Результат после нажатия [=] также выводится в алгебраической форме

Вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора

В разработке показано как можно выполнять действия над комплексными числами, находить модуль и аргумент комплексного числа с помощью калькулятора.

Просмотр содержимого документа
«Вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КРАСНОКАМСКИЙ ЦЕЛЛЮЛОЗНО-БУМАЖНЫЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ТЕМЕ: «ВЫЧИСЛЕНИЯ НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ»

По дисциплине «Математика»

Выполнила: Филиппова М.А.

Рассмотрена и утверждена на заседании комиссии физико-математических дисциплин.

Протокол №_____ от «_____»______________20 г.

2009-2010 учебный год

Пояснительная записка.

Изучение математики требует от студента большого объёма знаний. Технические средства обучения позволяют облегчить эту работу.

Данная методическая разработка предназначена для использования студентами дневной и заочной форм обучения на занятиях математики. В ней рассматривается теоретический материал по использованию калькуляторов разных типов, основные вопросы теории комплексных чисел. Кроме теоретических сведений изложены приёмы вычислений на калькуляторе различных алгебраических выражений и математических функций. Большой раздел занимает вычисление комплексных чисел с помощью калькулятора.

Данная работа так же может быть использована на занятиях специальных дисциплин, связанных с вычислительной работой, как студентами, так и преподавателями.

Во все времена люди стараются облегчить вычислительную работу. Многие из вас помнят «Четырёхзначные таблицы Брадиса», логарифмическую линейку. Но всё это ушло в прошлое. А на смену пришли компьютеры и их младшие собратья – микрокалькуляторы (МК). Поэтому очень важным на уроках математики является умение грамотно, рационально использовать МК. Для этого необходимо знать принципы работы, назначение кнопок и многое другое. Для достижения необходимого результата ,начиная с первого курса, на уроках математики мы изучаем как правильно пользоваться различными МК. Эти знания студенты используют на старших курсах при решении расчётных задач, при выполнении курсовых и дипломных работ.

Как правильно работать на МК ребята начинают знакомиться на первом курсе при изучении той или иной темы. Например, при изучении темы «Степени» преподаватель объясняет, как правильно возводить в степень с действительным показателем на разных типах инженерных калькуляторах. При изучении темы «Погрешности» и «Округление чисел» разбирает, как округлять до нужного разряда и записывать число в стандартном виде, и т.д..

Типы калькуляторов:

Калькулятор является «инженерным», если на нём можно вычислять значения различных элементарных и трансцендентных функций, задавать элементарные программы.

Разберём два основных типа инженерных МК:

МК, у которых не высвечивается последовательность набора цифр и действий;

МК, у которых вычисляемое выражение полностью высвечивается на дисплее.

Вычисления на калькуляторах 1 типа.

Общие действии:

— устанавливает режим измерения углов – DEG — в градусах;

RAD – в радианах;

GRAD – градиент (не используем).

— вторая функция – после нажатия, выполняется то, что написано над кнопкой.

— стирание последних, не правильно набранных цифр.

— запись числа в стандартном виде, например:

— F-E — (1,587 04) – пробел между числом и порядком числа оставлен для знака «минус».

Количество цифр после запятой

— — — округление числа до нужного разряда: 1 – до десятых; 2 – до сотых; 3 – до тысячных; и т.д.

0 – до единиц; точка – появляются все разряды.

— левая и правая скобки.

ввод информации в память.

вывод информации из памяти.

— смена знака числа.

Вычисление степеней:

Вычисление корней:

Вычисление логарифмов:

На МК имеются только десятичные и натуральные логарифмы. Для того, чтобы вычислять логарифмы с другими основаниями нужно воспользоваться формулой перехода от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:

Число под логарифмом

Вычисление тригонометрических функций:

Обычно при решении тригонометрических задач и при решении треугольников углы задаются в градусах, поэтому нужно установить режим МК – DEG.

Величина угла (град)

Аналогично вычисляются и другие тригонометрические функции.

Вычисление обратных тригонометрических функций:

Установить режим МК – DEG.

Значение тригонометрической функции

Аналогично вычисляются углы и с другими тригонометрическими функциями.

Вычисления на калькуляторах 2 типа.

Вычисления на МК 2 типа выполняются аналогично, но меняется последовательность набора.

Предлагаю вам несколько расчётных задач, которые решают студенты на занятиях.

Задача №1. Дисциплина «Процессы и аппараты»

В расчёте тепловых процессов при нагреве жидкостей, используют моделирование процессов через критериальные уравнения. Например: при определении коэффициента теплоотдачи от нагретой стенки к движущейся воде

Задача2:Дисциплина «Основы экономики»

Найти процентную ставку по вкладу, если через10 лет 50000 рублей обратились в 1000000 рублей.

Р ешение:

Вычисление комплексных чисел на МК.

Тема «Комплексные числа» является очень важной для специалистов «Электриков». Данная тема используется в дисциплине ТОЭ при расчёте цепей однофазного и трёхфазного переменного тока. А также в дисциплине «Электрические машины», где строятся векторные диаграммы на комплексной плоскости. Поэтому необходимо обучить студентов данной специальности грамотно и быстро выполнять расчёты, содержащие комплексные числа. А для этого очень важно научить студентов выполнять расчёты на инженерном калькуляторе.

Теория комплексных чисел.

Определение комплексного числа,

действия над комплексными числами в алгебраической форме

Комплексными числами называются числа вида ,

где — действительные числа, а — мнимая единица (в электротехнике символ «i» заменили символом «j» т.к. «i» обозначает мгновенное значение силы тока).

-действительная часть комплексного числа;

— мнимая часть комплексного числа.

Числа и называются комплексно-сопряжёнными.

На множестве комплексных чисел выполняются все известные математические действия, в том числе и извлечение корня чётной степени из отрицательного числа.

При выполнении деления комплексных чисел нужно числитель и знаменатель умножать на число, сопряжённое знаменателю.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Любое комплексное число можно изобразить на координатной плоскости в виде точки , где по оси Ох отмечают действительную, а по оси Оу мнимую часть комплексного числа. Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Он называется радиус – вектором. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и вычисляется по формуле , а угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох , называется аргументом комплексного числа. Радиус вектор вычисляется по формуле: (учитывая четверть). Аргумент определяется неоднозначно. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Пример: Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Тригонометрическая и показательная формы

к омплексного числа.

Кроме алгебраической формы существует ещё две формы: тригонометрическая и показательная.

В алгебраической форме удобно выполнять действия сложения и вычитания, а в показательной и тригонометрической формах удобно выполнять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Выполнение арифметических действий над комплексными числами.

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа.

Найдите модуль и аргумент комплексного числа .

Проверка заданий:

Объяснение нового материала.

Как видите, вычисления комплексных чисел вызывают определённые затруднения. Особенно действия умножения, деления, нахождение модуля и аргумента комплексного числа. А если учесть, что задания с комплексными числами являются частью других задач по электротехнике или по электрическим машинам, то естественно хочется найти способ, позволяющий ускорить и облегчить эту работу. Таким помощником для нас является калькулятор. В начале первого курса мы просим всех студентов приобрести инженерные калькуляторы. Для специальности «Электрик» калькуляторы должны содержать кнопочки:

r /> />e ху cpl x

а) Выполнение арифметических действий над комплексными числами.

Войти в режим комплексных чисел – 2ndF- cpl x

Ввести необходимое комплексное число:

«действительная часть числа — кнопка — мнимая часть числа — кнопка »;

Указать нужное действие;

Ввести следующее комплексное число (аналогично);

Нажать знак «=», после чего появится действительная часть результата;

Нажать кнопку «b»,после чего появится мнимая часть результата.

В режиме комплексных чисел выполнить действия:

12 –«a» — 9 – «b» — «:» — 4 – «+/-» — «a» — 2 – «+/-» — «b»-

— «=» (получим действительную часть результата «-3.3») — «b»(получим мнимую часть результата «-0.6»)

Можно проверить с помощью калькулятора предыдущие примеры.

б) Нахождение модуля и аргумента комплексного числа.

Установить с помощью кнопки «DRG» режим калькулятора «DEG» (т.е. величина угла будет показана в градусах; если нужно величину угла в радианах, то с помощью этой же кнопки установить режим «RAD»);

Набрать комплексное число на калькуляторе:

«действительная часть числа — кнопка — мнимая часть числа — кнопка »;

Нажать «2ndF –a (появится модуль комплексного числа) – b(появится аргумент комплексного числа).

Перевести число z= 5+10j в показательную и тригонометрическую формы.

Найдём модуль и аргумент данного комплексного числа:

5-«a» — 10 – «b» — «2ndF» — «a» (получим модуль данного числа 11,18 ) – «b» — —(получим аргумент данного числа 63,43 0 ).

Z=11,18(cos 63,43 0 +jsin63,43 0 ) – тригонометрическая форма);

Z=11,18 e j 63,46 — показательная форма.

Закрепление нового материала.

В качестве закрепления нового материала можно решить задачи из сборника по ТОЭ.

Как считать комплексные числа на калькуляторе

В статье описаны способы выполнения арифметических действий над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) и преобразований их форм записи (алгебраическая, показательная) с помощью инженерного калькулятора. Эти же действия можно выполнить на онлайн-калькуляторе. Автор использует модель CT-208T (рис. 1), действия на котором описаны в качестве примера.

Рисунок 1 — Калькулятор, используемый в примерах

Рисунок 2 — Изображение комплексного числа на комплексной плоскости

Комплексное число изображается на комплексной плоскости вектором (рис. 2). Основные формы записи комплексных чисел (используемые в электротехнике): — алгебраическая форма, где a — действительная часть, b — мнимая часть; — показательная форма, где ρ — модуль, φ — аргумент комплексного числа. Для преобразований «вручную» используются следующие формулы: — из показательной в алгебраическую; — из алгебраической в показательную. a — активная составляющая; мнимая bj — реактивная). В показательной форме модуль ρ соответствует амплитуде (или длине вектора) какой-либо величины, а аргумент φ — фазе (или углу поворота вектора).
—> При счете «вручную» в операциях сложения и вычитания удобно пользоваться алгебраической формой, а при делении и умножении — показательной:

На калькуляторе комплексное число представляется в соответствующих регистрах a и b . Запись действительной части в регистр a производится путем ввода цифрами некоторого числа и нажатия кнопки . Аналогичным образом производится запись мнимой части в регистр b , по нажатию кнопки . После ввода регистров первого комплексного числа нажимается кнопка, соответствующая действиям над числами (сложение, вычитание и т.д.), затем вводится второе, таким же образом, как и первое. После ввода второго числа нажимается кнопка , при этом над числами выполняется заданное действие, а результат сохраняется в регистрах a и b в алгебраической форме, просмотр их значений осуществляется нажатием кнопок и . Если же требуется получить результат в показательной форме, то над числом выполняется соответствующее преобразование > и в регистрах a и b сохраняется модуль и аргумент.
Если требуется выполнить действия над числами, представленными в показательной форме, то в регистр a заносится модуль, в регистр b заносится аргумент, затем сразу же производится преобразование в алгебраическую форму нажатием последовательности > (см. примеры далее).

Сочетание кнопок	Функция
>	— перевод в режим работы с комплексными числами; — выход из режима работы с комплексными числами;
— занесение введенного числа в регистр a (действительная часть/модуль); — просмотр действительной части результата рассчетов;
— занесение введенного числа в регистр b (мнимая часть/аргумент); — просмотр мнимой части результата рассчетов;
>	— преобразование из показательной в алгебраическую форму; При этом, преобразуемое число должно быть занесено в регистры ( a — модуль, b — аргумент), результат помещается в эти же регистры.
>	— преобразование из алгебраической в показательную форму; При этом, преобразуемое число должно быть занесено в регистры ( a — действительная, b — мнимая часть), результат помещается регистры a и b ( a — модуль, b — аргумент).

Калькулятор должен быть переведен в режим работы с комплексными числами (на дисплее будет надпись CPLX).

Выражение (с результатом)	Последовательность нажатий
> > > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a и b .
> > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a и b .
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a (модуль) и b (аргумент).

Для простейших действий реализован калькулятор, в котором производятся арифметические операции для пары комплексных чисел. Числа можно вводить как в алгебраической, так и в показательной формах, преобразования и вычисления происходят при вводе данных. По-умолчанию на калькуляторе введен последний пример из предыдущей таблицы.

Решение комплексных уравнений на калькуляторе

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Решение комплексных уравнений на калькуляторе

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.