Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
Последовательность праймориалов начинается так:
2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)
Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)
определяется как количество беспорядков порядка 
, то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия
Двойной крестик — Одинарный и двойной крестики разными шрифтами Типографский крестик (†, в Юникоде U+2020, в dagger;), иногда его называют «кинжалом», «обелиском», «даггером», типографический знак. Двойной крестик (‡, в Юникоде U+2021, в Dagger;) вариант «кинжала… … Википедия
Праймориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия
Примориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия
Восклицательный знак — ! Именно так должен выглядеть этот символ Юникод U+00 … Википедия
Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для … Википедия
Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия
Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл это некоторая… … Википедия
Tcl — Запрос «TCL» перенаправляется сюда; о минидистрибутиве Linux см. Tiny Core Linux. Tcl Семантика: императивный … Википедия
TCL — Семантика: императивный, скриптовый Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1988 г. Автор(ы): Джон Остераут Последняя версия: 8.5.7 / 15 апреля 2009 … Википедия
Пятнадцать различных хордовых диаграмм по шести точкам или, что то же самое, пятнадцать различных точных соответствий по шести вершинам полный график. Они подсчитываются с помощью двойного факториала 15 = (6-1) .
В математике, двойной факториал или полуфакториал числа n, обозначаемый n . является произведением всех целых чисел от 1 до n, которые имеют такую же четность (нечетную или четную), что и n. То есть
n! ! Знак равно ∏ К знак равно 0 ⌈ N 2 ⌉ — 1 (N — 2 К) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯. <\ displaystyle n !! = \ prod _
Для четного n двойной факториал равен
n! ! Знак равно ∏ К знак равно 1 N 2 (2 К) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯ 4 ⋅ 2, <\ Displaystyle п !! = \ prod _
, а для нечетного n это
n! ! Знак равно ∏ К знак равно 1 N + 1 2 (2 K — 1) знак равно N (N — 2) (N — 4) ⋯ 3 ⋅ 1. <\ Displaystyle п !! = \ prod _
Например, 9 !! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. Двойной нулевой факториал 0 !! = 1 как пустой продукт.
последовательность двойных факториалов для четных n = 0, 2, 4, 6, 8. начинается как
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120. (последовательность A000165 в OEIS )
Последовательность двойных факториалов для нечетных n = 1, 3, 5, 7, 9. начинается как
1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135. (последовательность A001147 в OEIS )
Член нечетный Факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.
Meserve (1948) (возможно, самый ранний указание использовать двойную факториальную нотацию) утверждает, что двойной факториал был первоначально введен для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов, которые возникают при выводе произведения Уоллиса. Двойные факториалы также возникают при выражении объема гиперсферы, и они имеют множество приложений в перечислительной комбинаторике. Они встречаются в t-распределении Стьюдента (1908), хотя Госсет не использовал нотацию с двойным восклицательным знаком.
Поскольку двойной факториал включает только половину множителей обычного факториала, его значение не существенно больше квадратного корня из факториала n !, и он намного меньше повторного факториала (n!) !.
Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:
, где знаменатель исключает нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется, когда n = 0.)
Для четного неотрицательного целого числа n = 2k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как
Для нечетных n = 2k — 1 с k ≥ 1 объединение двух приведенных выше дисплеев дает
Для нечетного положительного целого числа n = 2k — 1 с k ≥ 1 двойной факториал может быть выражен в терминах k-перестановок 2k as
Пятнадцать различных корневых двоичных деревьев (с неупорядоченными дочерними элементами) на наборе из четырех помеченных листьев, иллюстрирующих 15 = ( 2 × 4 — 3) !! (см. текст статьи).
Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других параметрах настройки. Например, n !! для нечетных значений n отсчетов
Callan (2009) и Dale Moon (1993) перечисляют несколько дополнительных объектов с той же последовательностью подсчета, включая » трапециевидные слова «(цифры в смешанной системе счисления с увеличивающейся нечетной системой счисления), с меткой высоты пути Дайка, упорядоченные деревья с меткой высоты,« выступающие дорожки », и определенные векторы, описывающие конечный потомок с наименьшим номером каждого узла в корневом двоичном дереве. Для биективных доказательств того, что некоторые из этих объектов равносильны, см. Rubey (2008) и Marsh Martin (2011).
Четные двойные факториалы дают количество элементов групп гипероктаэдров (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )
Обычный факториал при расширении до гамма-функция имеет полюс у каждого отрицательного целого числа, что предотвращает определение факториала для этих чисел. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его рекуррентное отношение
Используя это обратное повторение, ( −1) !! = 1, (−3) !! = −1 и (−5) !! = 1/3; отрицательные нечетные числа большей величины имеют дробные двойные факториалы. В частности, это дает, когда n — нечетное число,
Не обращая внимания на приведенное выше определение n !! для четных значений n двойной факториал для нечетных целых чисел можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел z, отметив, что, когда z является положительным нечетным целым числом, тогда
z! ! = z (z — 2) ⋯ 3 ⋅ 1 = 2 z — 1 2 (z 2) (z — 2 2) ⋯ (3 2) = 2 z — 1 2 Γ (z 2 + 1) Γ (1 2 + 1) знак равно 2 z + 1 π Γ (z 2 + 1) = (z 2)! 2 z + 1 π. <\ displaystyle <\ begin
Отсюда можно вывести альтернативное определение z !! для неотрицательных четных целых значений z:
(2 k)! ! Знак равно 2 π ∏ я знак равно 1 К (2 я) знак равно 2 К К! 2 π, <\ displaystyle (2k) !! = <\ sqrt <\ frac <2><\ pi>>> \ prod _ ^
со значением 0 !! в данном случае
0! ! = 2 π ≈ 0,797 884 5608…. <\ displaystyle 0 !! = <\ sqrt <\ frac <2><\ pi>>> \ приблизительно 0,797 \, 884 \, 5608 \ dots \,.>
Выражение, найденное для z !! определен для всех комплексных чисел, кроме отрицательных четных целых чисел. Используя его как определение, объем n- мерной гиперсферы радиуса R можно выразить как
Для целых значений n,
Использование вместо расширения двойной факториал нечетных чисел в комплексные числа, формула
Двойные факториалы также можно использовать для вычисления интегралов более сложных тригонометрических полиномов.
Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:
Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:
(2 n — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 1 N — 1 (N K + 1) (2 K — 1)! ! (2 п — 2 к — 3)! !, (2 п — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 0 N (2 N — K — 1 K — 1) (2 K — 1) (2 N — K + 1) K + 1 (2 N — 2 K — 3)! !, (2 п — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 1 N (N — 1)! (к — 1)! к (2 к — 3)! !. <\ displaystyle <\ begin
Приближенное отношение двойного факториала двух последовательных целых чисел равно
Это приближение становится более точным с увеличением n.
Так же, как двойной факториал обобщает понятие одиночного факториала, следующее определение целочисленного множественные факториальные функции (мультифакториалы ) или α-факториалы расширяют понятие двойной факториальной функции для α ∈ ℤ:
В качестве альтернативы, многофакторное n! (α) можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел n, отметив, что когда n на единицу больше, чем положительное кратное α тогда
п! (α) = n (n — α) ⋯ (α + 1) = α n — 1 α (n α) (n — α α) ⋯ (α + 1 α) = α n — 1 α Γ (n α + 1) Γ (1 α + 1). <\ Displaystyle <\ begin
Это последнее выражение определяется гораздо шире, чем оригинал. Точно так же, как n! не определено для отрицательных целых чисел, и n !! не определено для отрицательных четных целых чисел, n! (α) не определено для отрицательных кратных α. Однако он определен для всех других комплексных чисел. Это определение согласуется с предыдущим определением только для тех целых чисел n, для которых n ≡ 1 mod α.
В дополнение к расширению n! (α) на большинство комплексных чисел n, это определение имеет особенность работы для всех положительных действительных значений α. Кроме того, когда α = 1, это определение математически эквивалентно функции Π (n), описанной выше. Кроме того, когда α = 2, это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала.
Класс обобщенных чисел Стирлинга первый вид определяется при α>0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:
[nk] α = (α n + 1 — 2 α) [n — 1 k] α + [n — 1 k — 1 ] α + δ n, 0 δ k, 0. <\ displaystyle \ left [<\ begin
Эти обобщенные α-факториальные коэффициенты затем генерируют различные символические полиномиальные произведения, определяющие множественные факториальные или α-факториальные функции, (x — 1)! (α), поскольку
(x — 1 | α) n _: = ∏ i = 0 n — 1 (x — 1 — i α) = (x — 1) (x — 1 — α) ⋯ (x — 1 — (n — 1) α) = ∑ k = 0 n [nk] (- α) n — k (x — 1) k = ∑ k = 1 п [nk] α (- 1) n — kxk — 1. <\ displaystyle <\ begin
Различные полиномиальные разложения в предыдущих уравнениях фактически определяют α-факториальные произведения для нескольких различных случаев наименьших вычетов x ≡ n 0 mod α для n 0 ∈ <0, 1, 2. α - 1>.
Обобщенные α-факториальные полиномы, σ. n(x), где σ. n(x) ≡ σ n (x), которые обобщают полиномы свертки Стирлинга от однофакториального случая к многофакторному, определяются как
для 0 ≤ n ≤ x. Эти многочлены имеют особенно красивую замкнутую обычную производящую функцию, заданную как
Другие комбинаторные свойства и расширения этих обобщенных α -факториальные треугольники и полиномиальные последовательности рассматриваются в Schmidt (2010).
Предположим, что n ≥ 1 и α ≥ 2 являются целочисленными. Затем мы можем разложить следующие отдельные конечные суммы, включающие многофакторные или α-факториальные функции, (αn — 1)! (α), с помощью символа Поххаммера и обобщенного, рациональнозначные биномиальные коэффициенты как
(α n — 1)! (α) = ∑ k = 0 n — 1 (n — 1 k + 1) (- 1) k × (1 α) — (k + 1) (1 α — n) k + 1 × (α (k + 1) — 1)! (α) (α (п — к — 1) — 1)! (α) = ∑ k = 0 n — 1 (n — 1 k + 1) (- 1) k × (1 α + k — nk + 1) (1 α — 1 k + 1) × (α (k + 1) — 1)! (α) (α (п — к — 1) — 1)! (α), <\ Displaystyle <\ begin <выровнено>(\ альфа п-1)! _ <(\ альфа)>= \ сумма _ <к = 0>^ <п-1> <\ binom <п- 1>
и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций на двойную сумму, заданные как
(α n — 1)! (α) знак равно ∑ К знак равно 0 N — 1 ∑ я знак равно 0 К + 1 (N — 1 К + 1) (К + 1 я) (- 1) К α К + 1 — я (α я — 1)! (α) (α (n — 1 — k) — 1)! (α) × (n — 1 — k) k + 1 — i = ∑ k = 0 n — 1 ∑ i = 0 k + 1 (n — 1 k + 1) (k + 1 i) (n — 1 — ik + 1 — я) (- 1) к α к + 1 — я (α я — 1)! (α) (α (n — 1 — k) — 1)! (α) × (к + 1 — я)!. <\ displaystyle <\ begin
Первые две суммы выше аналогичны по форме известному некруглому комбинаторному тождеству для двойной факториальной функции, когда α: = 2 задано как Каллан (2009).
(2 n — 1)! ! Знак равно ∑ К знак равно 0 N — 1 (N K + 1) (2 K — 1)! ! (2 п — 2 к — 3)! !. <\ displaystyle (2n-1) !! = \ sum _
Дополнительные разложения по конечной сумме сравнений для α-факториальных функций, (αn — d)! (α), по модулю любого заданного целого числа h ≥ 2 для любого 0 ≤ d Последняя правка сделана 2021-05-13 12:05:08
В математике , то двойной факториал или semifactorial из числа п , обозначаемой п ! , Является произведением всех целых чисел от 1 до п , которые имеют ту же четность (нечетное или даже) в качестве п . То есть,
Для четного n двойной факториал равен
п ! ! знак равно ∏ k знак равно 1 п 2 ( 2 k ) знак равно п ( п — 2 ) ( п — 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 , <\ Displaystyle п !! = \ prod _
а для нечетных n это
п ! ! знак равно ∏ k знак равно 1 п + 1 2 ( 2 k — 1 ) знак равно п ( п — 2 ) ( п — 4 ) ⋯ 3 ⋅ 1 . <\ Displaystyle п !! = \ prod _
Например, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 . Нулевой двойной факториал 0‼ = 1 как пустой продукт .
Последовательность двойных факториалов для четных п = 0, 2, 4, 6, 8, . начинается
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, . (последовательность A000165 в OEIS )
Последовательность двойных факториалов для нечетных n = 1, 3, 5, 7, 9, . начинается как
1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, . (последовательность A001147 в OEIS )
Термин нечетный факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.
В статье 1902 года физик Артур Шустер писал:
Символическое представление результатов этой статьи значительно упрощается введением отдельного символа для произведения альтернативных множителей , если они нечетные, или если они нечетные [sic]. Я предлагаю писать для таких продуктов, и если для продукта требуется имя, называть его «альтернативный факториал» или «двойной факториал». п ⋅ п — 2 ⋅ п — 4 ⋯ 1 <\ Displaystyle п \ CDOT N-2 \ CDOT N-4 \ CDOTS 1>п <\ displaystyle n>п ⋅ п — 2 ⋯ 2 <\ Displaystyle п \ CDOT N-2 \ CDOTS 2>п <\ displaystyle n>п ! !
Мезерв (1948) утверждает, что двойной факториал был первоначально введен для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов , возникающих при выводе произведения Уоллиса . Двойные факториалы также возникают при выражении объема гиперсферы и имеют множество приложений в перечислительной комбинаторике . Они встречаются в Стьюденте т -распределении (1908), хотя Gosset не использовал двойное обозначение восклицательного знака.
Отношение к факториалу
Поскольку двойной факториал включает только половину множителей обычного факториала , его значение не намного больше квадратного корня из факториала n ! , и он намного меньше повторного факториала ( n !)! .
Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:
п ! знак равно п ! ! ⋅ ( п — 1 ) ! ! ,
где знаменатель отменяет нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется при n = 0. )
Для четного неотрицательного целого числа n = 2 k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как
Для нечетных n = 2 k — 1 с k ≥ 1 объединение двух приведенных выше дисплеев дает
Для нечетного положительного целого числа n = 2 k — 1 с k ≥ 1 двойной факториал может быть выражен через k -перестановки 2 k как
Приложения в перечислительной комбинаторике
Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других условиях. Например, n ‼ для нечетных значений n отсчетов
- Совершенные паросочетания этого полного графаKп + 1 при нечетном п . В таком графе любая единственная вершина v имеет n возможных вариантов вершины, с которой она может быть сопоставлена, и после того, как этот выбор сделан, остается проблема выбора идеального сопоставления в полном графе с двумя меньшими вершинами. Например, полный граф с четырьмя вершинами a , b , c и d имеет три идеальных соответствия: ab и cd , ac и bd , а также ad и bc . Идеальные соответствия могут быть описаны несколькими другими эквивалентными способами, включая инволюции без фиксированных точек на наборе из n + 1 элементов ( перестановки, в которых каждый цикл является парой) или хордовые диаграммы (наборы хорд набора из n + 1 точек равномерно расположены на окружности таким образом, что каждая точка является концом ровно одной хорды, также называемой диаграммой Брауэра ). Количество совпадений в полных графах, без ограничения совпадений на идеальное, вместо этого дается телефонными номерами , которые могут быть выражены как суммирование с использованием двойных факториалов.
- Перестановки Стирлинга , перестановки мультимножества чисел 1, 1, 2, 2, . k , k, в которых каждая пара равных чисел разделена только большими числами, где k = п + 1 / 2 . Две копии k должны быть смежными; удаление их из перестановки оставляет перестановку, в которой максимальный элемент равен k — 1 , с n позициями, в которые может быть помещена смежная пара k значений. Из этой рекурсивной конструкции по индукции следует доказательство того, что перестановки Стирлинга подсчитываются двойными перестановками. В качестве альтернативы, вместо ограничения, что значения между парой могут быть больше, чем она, можно также рассмотреть перестановки этого мультимножества, в которых первые копии каждой пары появляются в отсортированном порядке; такая перестановка определяет соответствие на 2 k позициях перестановки, поэтому снова количество перестановок может быть подсчитано с помощью двойных перестановок.
- Упорядоченные в куче деревья , деревья с k + 1 узлами, помеченными 0, 1, 2, . k , такие, что корень дерева имеет метку 0, каждый другой узел имеет более крупную метку, чем его родитель, и такие, что дочерние элементы каждого узла имеют фиксированный порядок. Эйлера тур дерева (с удвоенными краями) дает перестановку Стирлинга, и каждый Stirling перестановка представляет собой дерево таким образом.
- Некорневые бинарные деревья с п + 5 / 2 маркированные листья. Каждое такое дерево может быть сформировано из дерева с одним меньшим количеством листьев, разделив одно из n ребер дерева и сделав новую вершину родительской для нового листа.
- Бинарные деревья с корневымип + 3 / 2 маркированные листья. Этот случай аналогичен случаю без корней, но количество ребер, которые могут быть подразделены, является четным, и в дополнение к подразделению ребра можно добавить узел к дереву с одним меньшим листом, добавив новый корень, у которого два дочерних элемента меньшее дерево и новый лист.
Callan (2009) и Dale & Moon (1993) список несколько дополнительных объектов с одной и той же последовательности подсчета , в том числе «трапециевидных слова» ( цифры в смешанной поразрядной системы с увеличением нечетные radixes), высота меченных путей Дейка , высота меченных упорядоченных деревьев , «нависающие пути» и определенные векторы, описывающие конечный потомок с наименьшим номером каждого узла в корневом двоичном дереве. Для биективных доказательств , что некоторые из этих объектов являются equinumerous см Rubey (2008) и Marsh & Martin (2011) .
Четные двойные факториалы дают номера элементов гипероктаэдрических групп (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )
Расширения
Отрицательные аргументы
Обычный факториал, расширенный до гамма-функции , имеет полюс у каждого отрицательного целого числа, что предотвращает определение факториала в этих числах. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его рекуррентное соотношение
п ! ! знак равно п × ( п — 2 ) ! !
Используя эту обратную рекуррентность, (−1)‼ = 1, (−3)‼ = −1 и (−5)‼ = 1 / 3 ; отрицательные нечетные числа с большей величиной имеют дробные двойные факториалы. В частности, это дает, когда n — нечетное число,
Сложные аргументы
Игнорируя приведенное выше определение n ‼ для четных значений n , двойной факториал для нечетных целых чисел может быть расширен до большинства действительных и комплексных чисел z , отметив, что когда z является положительным нечетным целым числом, тогда
Отсюда можно вывести альтернативное определение z ‼ для неотрицательных четных целых значений z :
со значением 0‼ в этом случае
Выражение, найденное для z ‼, определено для всех комплексных чисел, кроме отрицательных четных целых чисел. Использование его в качестве определения, то объем из п — мерная гиперсферы радиуса R может быть выражен как
Дополнительные удостоверения
Для целых значений n ,
Используя вместо этого расширение двойного факториала нечетных чисел до комплексных чисел, формула
Двойные факториалы также могут использоваться для вычисления интегралов от более сложных тригонометрических полиномов.
Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:
Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:
( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п — 1 ( п k + 1 ) ( 2 k — 1 ) ! ! ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 1 п ( п k ) ( 2 k — 3 ) ! ! ( 2 ( п — k ) — 1 ) ! ! , ( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п ( 2 п — k — 1 k — 1 ) ( 2 k — 1 ) ( 2 п — k + 1 ) k + 1 ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! , ( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 1 п ( п — 1 ) ! ( k — 1 ) ! k ( 2 k — 3 ) ! ! . <\ displaystyle <\ begin
(2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-1)! ! (2n-2k-3) !! = \ sum _ ^ <\ binom > (2k-3) !! (2 (nk) -1) !! \ ,, \\ (2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ binom <2n-k-1> > <\ frac <(2k-1 ) (2n-k + 1)> > (2n-2k-3) !! \ ,, \\ (2n-1) !! & = \ sum _ ^ <\ frac <(n-1)!><(k-1)!>> k (2k-3) !! \,. \ end <выровнено>>> Приближение для отношения двойного факториала двух последовательных целых чисел:
Это приближение становится более точным с увеличением n .
Обобщения
Определения
Точно так же, как двойной факториал обобщает понятие единственного факториала , следующее определение целочисленных множественных факториальных функций ( мультифакториалов ) или α -факториальных функций расширяет понятие двойной факториальной функции для α ∈ ℤ + :
Альтернативное расширение многофакторной
В качестве альтернативы многофакторный n ! ( α ) можно расширить до большинства действительных и комплексных чисел n , отметив, что когда n на единицу больше, чем положительное кратное α, то
Это последнее выражение имеет гораздо более широкое определение, чем исходное. Точно так же, как n ! не определено для отрицательных целых чисел, и n ‼ не определено для отрицательных четных целых чисел, n ! ( α ) не определено для отрицательных кратных α . Однако он определен для всех других комплексных чисел. Это определение согласуется с предыдущим определением только для тех целых чисел n, для которых n ≡ 1 mod α .
В дополнение к расширению n ! ( α ) для большинства комплексных чисел n , это определение работает для всех положительных действительных значений α . Кроме того, когда α = 1 , это определение математически эквивалентно функции Π ( n ) , описанной выше. Кроме того, когда α = 2 , это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала .
Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции
Класс обобщенных чисел Стирлинга первого рода определяется при α > 0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:
Эти обобщенные α -факториальные коэффициенты затем генерируют различные символические полиномиальные произведения, определяющие множественные факториалы, или α -факториальные функции, ( x — 1)! ( α ) , так как
Различные полиномиальные разложения в предыдущих уравнениях фактически определяют α -факториальные произведения для нескольких различных случаев наименьших вычетов x ≡ n 0 mod α для n 0 ∈ <0, 1, 2, . α — 1> .
Обобщенные α -факториальные многочлены, σ ( α )
п ( x ) где σ (1)
п ( x ) ≡ σ n ( x ) , которые обобщают полиномы свертки Стирлинга от однофакториального случая до многофакторного случая, определяются какдля 0 ≤ n ≤ x . Эти многочлены имеют особенно красивую обычную производящую функцию в замкнутой форме, заданную формулой
Другие комбинаторные свойства и расширения этих обобщенных α -факториальных треугольников и полиномиальных последовательностей рассматриваются в Schmidt (2010) .
Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций
Предположим, что n ≥ 1 и α ≥ 2 целочисленные. Затем мы можем разложить следующие отдельные конечные суммы, включающие многофакторные или α -факториальные функции, ( αn — 1)! ( α ) в терминах символа Похгаммера и обобщенных рациональнозначных биномиальных коэффициентов как
и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций в двойную сумму, заданные формулой
Первые две суммы выше аналогичны по форме известному некруглому комбинаторному тождеству для двойной факториальной функции при α : = 2, данному Калланом (2009) .
( 2 п — 1 ) ! ! знак равно ∑ k знак равно 0 п — 1 ( п k + 1 ) ( 2 k — 1 ) ! ! ( 2 п — 2 k — 3 ) ! ! . <\ displaystyle (2n-1) !! = \ sum _
^ <\ binom > (2k-1) !! (2n-2k-3 ) . > Дополнительные разложения по конечной сумме сравнений для α -факториальных функций, ( αn — d )! ( α ) по модулю любого заданного целого числа h ≥ 2 для любого 0 ≤ d < α даны Шмидтом (2018) .
Короткое плечо совпадения
Джеймс Тэнтон разбрасывается задачками по теории чисел с той же щедростью, с которой Джон Д. Рокфеллер раздавал десятицентовики. Я уже писал об одной из задач Тэнтона. Спустя несколько недель моё внимание привлёк этот твит о факториалах и квадратах и уже не давал мне покоя:
«4!+1 = 25, квадрат числа. 5!+1 = 121, тоже квадрат числа. Можете привести ещё один пример? Ещё два примера?»
С помощью ручки и бумаги легко показать, что не подходит. Факториал — это ; прибавив , получим число , которое не является квадратом. (Оно раскладывается на множители как .) С другой стороны, равно , а прибавив , мы получим , что равно . Это даёт нам очень милое уравнение:
Продолжив далее, мы выясним, что , и не являются квадратами чисел. Но чтобы продолжить поиск, нам требуется механизированная помощь. Вот функция на Julia, выполняющая очевидную работу — вычисление последовательных факториалов и проверку, являются ли они на меньше квадрата:
Вооружившись этим инструментом, давайте проверим для всех от до . Вот, что сообщает нам программа:
Это те же три случая, которые мы уже обнаружили с помощью ручки и бумаги — и в списке больше ничего нет. Другими словами, среди всех значений вплоть до только , и дают квадраты чисел. Когда я продолжил поиск до , то получил точно такой же результат. Аналогично получилось с и . Стоит упомянуть, что факториал — довольно большое число из десятичных разрядов. На этом этапе поисков я начал выдыхаться; больше того, я начал терять надежду. Когда последовательным значениям не удаётся получить единственный квадрат, сложно продолжать надеяться, что успех может ждать нас за углом. Тем не менее, я продолжал упорствовать. Я добрался до , факториал которого содержит десятичных разрядов. Во всём множестве не попалось больше ни одного квадрата.
Что мы можем извлечь из этого доказательства — или его отсутствия? Являются ли 4, 5 и 7 единственными значениями , которые на квадрата целого числа? Или где-то на числовой прямой ещё есть такие случаи, возможно, прямо после моего интервала? Может ли их быть бесконечно много? И если это так, где они? Если их нет, то почему?
На мой вкус, самым удовлетворительным способом разрешения этих вопросов будет нахождение некоего принципа теории чисел, гарантирующего, что для . Мне не удалось найти такого принципа, но в мечтах я могу примерно представить, как может выглядеть доказательство. Допустим, мы избавимся от части формулы «», и начнём поиск целых чисел, таких что . Выясняется, что у этого уравнения есть только одно решение, при . Не стоит отягощать свой ноутбук поиском бо́льших решений — есть простое доказательство того, что их не существует. В любом квадрате целого числа все простые делители должны присутствовать чётное количество раз, например как в . В факториале по крайней мере один простой делитель — самый большой — всегда присутствует только один раз. (Если вы не понимаете, почему, прочитайте постулат Бертрана/теорему Чебышева.)
Разумеется, когда мы снова подставляем «» в формулу, то вся цепочка рассуждений разваливается на части. В общем случае, разложение на множители и совершенно отличается. Но возможно существует какое-то другое свойство , вступающее в конфликт с квадратностью. Оно может быть как-то связано с классами конгруэнции или с квадратными остатками. Из определения факториала мы знаем, что делится на все положительные целые числа, меньшие или равные , а это значит, что не может делиться ни на одно из этих чисел (за исключением ). Это наблюдение исключает определённые типы квадратов, а именно те, у которых в разложени на множители присутствуют малые простые числа. Но для всех квадратный корень значительно превосходит , поэтому есть достаточно места для бо́льших делителей, как это происходит в случае .
Вот ещё один путь, который стоит исследовать. Десятичное представление любого большого факториала заканчивается строкой из , созданной как произведения и среди делителей числа. Таким образом, должно выглядеть как
где обозначает любую десятичную цифру, а последующий ряд из заканчивается единственной . Можем ли мы найти способ доказать, что число в таком виде никогда не бывает квадратом? Ну, если бы последняя цифра отличалась бы от , или , то доказательство было бы простым, но многие квадраты заканчиваются на , например, . Если и есть какое-то алгебраическое соображение, показывающее, что не может быть квадратом, то оно более тонкое.
Всё вышесказанное — это выдуманная математика. Я смешал несколько ингредиентов, которые должны превратиться во вкусное тесто, но понятия не имею, как испечь пирог. Возможно, кто-то ещё поможет мне с рецептом. Тем временем, я хочу развлечься с альтернативной гипотезой: ничто не мешает быть квадратом, кроме невероятности.
Паттерн, наблюдаемый в задаче — несколько соответствий среди наименьших элементов последовательностей, а затем ни одного совпадения во многих тысячах элементов — не уникален для факториалов и квадратов. Другие пары последовательностей демонстрируют похожее поведение. Треугольные числа, начинающиеся с , задаются формулой . Если мы будем искать факториалы, которые тоже являются треугольными, то получим , затем и наконец . Больше никаких примеров до не встречается.
А как насчёт факториалов, которые на меньше треугольного числа, удовлетворяющих уравнению ? Я знаю единственный такой случай: . Немного расширив поиск, я обнаружил, что треугольно для , после чего снова нет никаких совпадений до .
Для другого эксперимента мы можем вернуться к квадратам чисел и отказаться от факториалов, заменив их вечно популярным рядом Фибоначчи , задаваемым рекурсией , где . Ещё с 1960-х было известно, что и — единственные положительные целы числа, одновременно являющиеся числами Фибоначчи и квадратами целых чисел. Поискав числа Фибоначчи, которые на меньше квадрата, я выяснил, что и , и других случаев не встречается до .
Мы можем сделать то же самое с числами Каталана, , ещё одним рядом с огромным фанатским клубом. Я выяснил, что среди чисел Каталана нет других квадратов, кроме вплоть до ; я не знаю, доказал ли кто-нибудь, что их не существует. Поиск случаев, при которых , тоже не даёт результатов, но есть несколько соответствий с низкими значениями для при .
Нахождение похожего поведения во всех этих различных последовательностях, на мой взгляд, меняет сложность задачи. Если мы обнаружим какое-то таинственное особое свойство , объясняющее, почему оно никогда не соответствует квадратам (при больших значениях ), нужно ли нам будет заново изобретать другой механизм для чисел Фибоначчи и ещё один для чисел Каталана? Не кажется ли более убедительным, что за всеми этими наблюдениями скрывается единственная общая причина?
Но эта причина не может быть слишком общей. Это не тот случай, когда можно взять любые две числовые последовательности и ожидать увидеть тот же паттерн в их пересечениях. Рассмотрим факториалы и простые числа. По самой природе факториалов, ни один из них, кроме 2! = 2, не может быть простым числом, но нет очевидных причин тому, что не может быть простым числом. И действительно, для простыми являются девять значений . Расширив границы поиска до , мы найдём ещё семь. Вот полное множество известных чисел, для которых является простым:
С увеличением они встречаются всё реже, но при этом нет признаков резкого предела, как в рассмотренных ранее случаях. Продолжается ли этот ряд беспредельно? Это кажется логичной гипотезой. (Подробную информацию об этой последовательности, в том числе и справочные материалы, см. на странице факториальных простых Криса Колдуэлла.)
Мой вопрос таков: можем ли мы воспринимать эти любопытные паттерны как чистую случайность? Значения образуют бесконечную последовательность целых чисел, распределённых по всех числовой прямой, плотно расположенных возле начала, но становящихся чрезвычайно разреженными при увеличении . Значения образуют ещё одну бесконечную последовательность, тоже с уменьшающеся плотностью, хотя и не с таким резким спадом. Возможно, факториалы совпадают с квадратами среди самых малых целых чисел, просто потому, что этих целых недостаточно, чтобы «разгуляться», и некоторым из них приходится выполнять двойную работу. Но в обширных открытых пространствах числовой прямой факториал может блуждать годами — возможно, вечно — так и не встретившись с квадратом.
Позвольте мне изложить эту идею более чётко. Поскольку не может быть квадратом, то мы знаем, что оно находится где-то между двумя квадратами; расположение на числовой прямой выглядит как . Расстояние между конечными точками этого интервала равно . Теперь выберем из интервала случайное число и спросим, справедливо ли . Этому условию должно удовлетворять ровно одно значение , то есть вероятность совпадения равна , или приблизительно . Поскольку растёт очень быстро, эта вероятность мгновенно стремится к нулю при увеличении . На графике ниже это показано фиолетовой линией. Заметьте, что к фиолетовая кривая почти достигла .
Зелёная кривая обозначает вероятность совпадения между числами Фибоначчи и квадратами; форма похожа, однако она «ныряет» с «обрыва» чуть позже. Кривая Фибоначчи-квадратов приближенно равна отрицательной показательной функции: вероятность пропорциональна , где . Кривая факториал-квадратов ещё резче, потому что функция факториала суперэкспоненциальна: растёт быстрее, чем , при любом постоянном .
Синяя кривая, фиксирующая вероятность совпадений между факториалами и простыми числами, имеет совершенно другую форму. В окрестности среднее расстояние между последовательными простыми числами приблизительно равно , который растёт немного быстрее, чем сама и намного медленее, чем . Вероятность совпадения между факториалами и простыми числами примерно равна . Непрерывная синяя кривая соответствует этой плавной аппроксимации. Синие точки, разбросанные рядом с линией, являются значениями вероятностей на основании настоящих расстояний между последовательными простыми числами.
Что можно сделать с этими кривыми? Допустимо ли применить теорию вероятностей к этим абсолютно детерминированным последовательностям чисел? Точно я не знаю. Прежде чем ставить этот вопрос напрямую, я предпочту сделать несколько шагов назад и рассмотреть более простую модель, в которой вероятность имеет полное право на использование.
Давайте позаимствуем одну из знаменитых урн Якоба Бернулли, в которой достаточно места для хранения бесконечного количества мячей для пинг-понга. Начнём с одного чёрного и одного белого мяча в урне, затем будем тянуть мячи случайным образом. Очевидно, что вероятность выбора чёрного равна . Положим выбранный мяч обратно в урну, а также добавим ещё один белый мяч. Теперь там три мяча и только один из них чёрный, так что вероятность вытягивания чёрного равна . Добавим четвёртый мяч, и вероятность чёрного падает до . Продолжая таким же образом, мы получим, что вероятность чёрного на -ном вытягивании должна быть равна .
Если мы будем продолжать эту процедуру бесконечно — всегда выбирать случайный мяч, возвращать его назад и добавлять ещё один белый мяч — то какова вероятность того, что мы хотя бы раз увидим чёрный мяч? Проще будет ответить на следствие из этого вопроса — вычислить вероятность никогда не увидеть чёрный мяч. Это бесконечное произведение , или:
Если стремится к бесконечности, произведение стремится к нулю. Другими словами, в бесконечной серии попыток вероятность никогда не вытащить чёрный мяч равна ; это значит, что вероятность встретить чёрный хотя бы раз равна . («Вероятность » — это не совсем то же самое, что «определённость», но невероятно близко.)
Давайте теперь поставим другой эксперимент. Снова начнём с одного чёрного и одного белого мячей, но после первого цикла вытаскивания-возврата добавим два белых мяча, затем четыре белых, и так далее, так, что общее число мячей в урне на этапе равна ; на протяжении этого процесса все мячи, кроме одного, будут белыми. Теперь вероятность никогда не увидеть чёрный мяч равна , или:
Это произведение не стремится к нулю, вне зависимости от величины . Также не стремится оно и к . Произведение сходится к константе с приблизительным значением . Это странно, не так ли? Даже при бесконечной серии вытаскиваний из урны мы не можем быть уверенными, появится ли чёрный шар, или нет.
Эти два эксперимента с урнами не соотносятся напрямую ни с одной из описанных выше задач соответствия; они просто иллюстрируют диапазон возможных результатов. Но мы можем создать процесс с урной, который имитирует вероятностный подход к задаче факториалов и квадратов. На -ном этапе урна содержит мячей, только один из которых является чёрным. Вероятность никогда не увидеть чёрный мяч даже при бесконечной серии попыток равна
Это выражение сходится к значению, приблизительно равному . Из этого следует, что вероятность увидеть чёрный мяч хотя бы раз равна , или . (Нет, это число не является , хотя и близко к нему.)
Процесс с урной, напоминающий задачу факториалов и простых чисел, даёт довольно отличающийся результат. Здесь число мячей в урне на этапе равно , снова только с одним чёрным мячом. Бесконечное произведение, управляющее суммарной вероятностью, равно
При численном доказательстве похоже, что это выражение стремится к нулю при стремлении к бесконечности (хотя я не уверен в этом на сто процентов). Если оно действительно стремится к , до дополнительная вероятность того, что чёрный мяч рано или поздно появится, должна быть равна .
Некоторые из этих результатов заставили меня чувствовать себя одураченным, и даже немного раздражённым. Можете называть меня старомодным, но я всегда думал, что бесконечного количества бросков кости должно быть достаточно, чтобы устранить всякие сомнения в том, появится паттерн, или нет. В жестоком свете бесконечности, сказал бы я, всё является или запрещённым, или обязательным; когда стремится к бесконечности, вероятность или стремится к , или стремится к . Но очевидно, что это не так. В модели урны с факториалами вероятность никогда не увидеть чёрный мяч не равна ни , ни и находится где-то рядом с . Что же это означает? Как я должен удостовериться в правильности числа или даже проверить его первые несколько цифр? Выполнения бесконечной серии попыток недостаточно; необходимо собрать статистически значимую выборку бесконечных экспериментов. Для точного результата нужно провести бесконечную серию бесконечных экспериментов. Увы.
Модель с урной естественным образом соотносится с рандомизированной версией задачи факториалов-квадратов, в которой мы смотрим на и выбираем случайное из соответствующего интервала значений. А как насчёт исходной задачи ? В этом случае нет случайной переменной, а потому нет смысла выполнять множество экспериментов для каждого значения . Система детерминирована. Для каждого факториал имеет точное значение и оно близко, или не близко к квадрату целого числа. Здесь нет никаких «может быть».
Тем не менее, есть обходной путь, способный добавить сюда вероятности. Чтобы сделать это, мы должны предположить, что факториалы и квадраты составляют своего рода эргодическую систему, в которой наблюдение за цепочкой событий в течение долгого периода времени аналогично наблюдению за множеством более коротких цепочек. Предположим, что факториалы и квадраты не связаны с их расположением на числовой прямой — что когда факториал оказывается между двумя квадратами, то расстояние до большего квадрата можно считать случайной переменной и каждое возможное расстояние имеет одинаковую вероятность. Если придерживаться этого предположения, то вместо рассмотрения одного значения и проверки множества случайных значений мы можем взять единственное значение (а именно ) и рассмотреть для множества значений .
Аргументированно ли такое эргодическое предположение? Не совсем. Известно, что некоторые расстояния между и более вероятны, чем другие, а некоторые расстояния невозможны вообще. Однако эмпирическое свидетельство показывает, что такие отклонения должны быть незначительными. На графике ниже показано распределение расстояний между факториалом и следующим бо́льшим квадратом для первых значений . Расстояния нормализованы в интервале и классифицированы на столбцов. Очевидных признаков смещения незаметно. Вычисление среднего и стандартного отклонения тех же относительных расстояний даёт в результате значения в пределах процента от тех, которые ожидаются при однородном случайном распределении. (Ожидаемые значения равны и .)
Если такой вероятностный подход можно воспринимать всерьёз, то я могу сделать некоторые численные суждения о перспективах нахождения большого факториала, соседствующего с квадратом целого числа. Как упомянуто выше, общая вероятность того, что одно или несколько значений равны квадратам, примерно равна . Таким образом, мы не должны слишком удивляться, что известно уже три таких случая, а именно примеры с , и . Теперь мы можем применить тот же метод к вычислению вероятности нахождения хотя бы ещё одного случая с . Давайте сделаем вопрос более общим: «Независимо от того, видели ли мы квадраты среди первых значений , каковы шансы, что мы увидим их после?» Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем просто убрать первые элементов из бесконечного произведения:
При ответ примерно равен . При примерно равен . Мы спускаемся вниз по резкому склону фиолетовой кривой.
С практической точки зрения, дальнейшие поиски ещё одной пары факториала-квадрата не выглядят многообещающим способом траты времени и циклов процессора. Вероятность успеха быстро снижается до смехотворно малых чисел, типа . И тем не менее, с математической точки зрения, вероятность никогда не исчезает. Убирание конечного количества членов из передней части бесконечного произведения не может изменить её свойства сходимости. Если исходное произведение сходилось к ненулевому значению, так же себя будет вести и укороченная версия. Таким образом, мы попали в каньон максимального разочарования, в котором нет реалистичного способа найти награду, но вероятности всё равно говорят нам, что она может существовать.
Я завершу это неуклюжее эссе рассмотрением ещё одного примера (сильно заблаговременного). Предположим, мы применяем вероятностные рассуждения к поиску куба, который на меньше квадрата. Если мы будем рассматривать точные соответствия между кубами и квадратами, то их довольно много — это шестые степени: . Но целые решения уравнения не так часты. Один из примеров с низкими значениями найти легко: , но когда после и мы можем ожидать увидеть последовательные куб и квадрат?
Вероятностный подход предполагает, что у нас есть причины для оптимизма. По сравнению с факториалами и числами Фибоначчи, кубы растут гораздо медленнее; их скорость полиномиальна, а не экспоненциальна и не суперэкспоненциальна. В результате вероятность нахождения куба на заданном расстоянии от квадрата снижается гораздо менее резко, чем это происходит для или . На графике ниже — это оранжевая кривая.
Заметьте, что оранжевая кривая лежит прямо под синей, которая представляет вероятность того, что находится рядом с простым числом. Близость этих двух кривых позволяет предположить, что две задачи — факториалы, соседние с простыми числами, кубы, соседние с квадратами — могут принадлежать к одному классу. Мы уже знаем, что факториал-простые возникают снова и снова, возможно до бесконечности. Эта аналогия приводит нас к догадке: возможно, совпадения кубов-квадратов тоже ничем не ограничено. Если мы продолжим наблюдать, то увидим ещё много их, кроме и .
Но такая догадка совершенно неверна. Эта задача имеет очень давнюю историю. В 1844 году Эжен Каталан предположил, что и являются единственными последовательными степенными значениями среди целых чисел; это предположение окончательно доказал в 2004 году Преда Михайлеску. Особый случай квадратов и кубов решил ещё Эйлер в восемнадцатом веке. Таким образом, вероятности здесь ни при чём.
Все рассмотренные в статье вопросы относятся к категории диофантова анализа — исследованиям уравнений, решениями которых должны быть целые числа. Эта область математики печально известна задачами, которые легко поставить, но сложно решить. Гипотеза Каталана является одним из самых знаменитых примеров, вместе с великой теоремой Ферма. Когда диофантовы задачи окончательно решаются, доказательства обычно очень неэлементарны, в них используются изощрённые инструменты из глубоких областей математики — алгебраическая геометрия в доказательстве великой теоремы Ферма Эндрю Уайлса и Ричарда Тейлора, круговые поля в доказательстве Михайлеску гипотезы Каталана. Насколько мне известно, теория вероятностей не играла центральной роли ни в одном из таких доказательств.
Когда я начал бороться с этими вопросами несколько недель назад, я не ожидал, что найду конкретное решение. И мои ожидания полностью оправдались! На самом деле, в моей голове ситуация стала ещё более запутанной, чем вначале. Осознание того, что даже бесконечная серия экспериментов необязательно даст ответы на некоторые вопросы, глубоко меня расстраивает, и заставляет задаться вопросом, насколько хорошо я в действительности понимаю теорию вероятностей. Но вряд ли такая ситуация редка в математике. Думаю, мне уже стоит к этому привыкнуть.
Обновление: благодаря ещё одной подсказке Тэнтона я понял, что эта задача имеет долгую историю и даже название: задача Брокара, по имени Анри Брокара, выпустившего публикации о ней в 1876 и 1885 годах. Рамануджан упоминал её в 1913 году. Эрдёш предположил, что решений больше нет. Мариус Оверхольт связал её с abc-гипотезой. Брюс Берндт и Уильям Голуэй выяснили, что решений нет до . Всё это я узнал из статьи о задаче Брокара в Википедии. В этой статье также упоминается, что решения называются броуновскими числами [прим. пер.: происхождение названия неизвестно, непонятно, связаны ли они с Робертом Броуном].
