Главная страница » Что такое спектральная плотность сигнала

Что такое спектральная плотность сигнала

  • автор:

Спектральная плотность и ее свойства. Теоремы о спектрах

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь — произвольные числовые коэффициенты.

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то :

Произведём замену переменной , тогда , откуда следует:

При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал и его спектральная плоскость заданы. Будем изучать новый сигнал и поставим цель найти его спектральную плотность .

Преобразование Фурье — линейная операция, значит, равенство (2.3) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора:

подставляя этот ряд в (2.6) и ограничиваясь первыми двумя членами ряда, находим

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть, значит — его спектральная плотность, а из формулы (2.7) равна:

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

V. Теорема о свёртке.

При суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и — два сигнала, для которых известны соответствия ,. Образуем произведение этих сигналов: и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.9):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций и . Символически операция свёртки обозначается как *

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частотной, а во временной области:

Пусть два сигнала и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала поэтому:

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

68. Что такое “спектральная плотность” сигнала и в каких единицах она измеряется?

Преобразованная по Фурье автокорреляционная функция называется спектральной плот­ностью сигнала и обозначается через :

τ — свободная (независимая) пере­менная , x(t)- гармонические колебания, представленные в комплексной форме. Т — период. Время tможет при­нимать любые значения от — до + .

70. Помехоустойчивость элементарного двойного сигнала. Понятие простого двоичного канала и его оценка. Методы повышения помехоустойчивости приема элементарного двоичного канала..

Оценка помехоустойчивости двоичных сигналов

Простой двоичный канал:

Если P1(0)=P0(1), то канал симметричный.

Симметричный канал- это канал, у которого передача ведется фазо-или частотно-манипулированным сигналом; для амплитудно-манипулированных и видеосигналов канал будет симметричным, если порог изменяемого сигнала будет равен 0.5.

Pc – мощность передаваемого сигнала

Если пара Am/2, то вероятность появления 1 вместо 0 и 0 вместо 1 одинаковая.

Оценка помехоустойчивости двоичных сигналов – оценивается вероятностью ошибочного приема ( ).

Различают 3 вида помехоустойчивости:

 Статическая – вероятность появления сигнала, когда передатчик молчит;

Статическая помехоустойчивость характеризуется, в основном, в виде сложного сигнала представляемого в кодированном виде. Статическая помехоустойчивость гостирована для всех дискретных систем.

Активная помехоустойчивость – вероятность трансформации единичного сигнала к другой или одного сообщения в другое при его передачи.

Пассивная помехоустойчивость — вероятность обнаружения ошибки при передаче при известных помехах.

Все эти три вида помехоустойчивости должны присутствовать.

Если канал симметричен P0(1) = P1(0)

Канал, у которого P1(0) + P1(1)= 1 называют простым.

Вероятность, когда может произойти ошибочный прием, только в случае если есть помеха.

P(σ) вероятность появления помехи, поэтому вероятность появления ошибочного приема Pош = P(σ)P0(0)P0(1) + P(σ)P1(1)P1(0)

Pош = 0,5P(σ)[P0(1) +P1(0)]

Если помеха флуктационная, ошибочный прием: Pош = 0,5[P0(1) +P1(0)], P(σ) = 1.

Для импульсной помехи P(σ) = P1 = ie i , i = Tб fсп

где i – интенсивность помехи на базу передаваемого сигнала

Статическая помехоустойчивость для сложного сигнала

1.Вероятность появления сигнала, когда передатчик молчит. Характерна для передачи сложных сигналов в виде кодовой комбинации. Онагостирована для всех (Pош=10 –21 ).

2.Вероятность трансформации одного сигнала в другой при передачи.

3.Вероятность обнаружения ошибки при передачи.

0 1 1 1 0 1 0 1 – P 5 ош Pстац

P0(1) = P1(0) = Pош (для симметричного канала).

Отсутствие передачи – 0 0 0 0 0 0 0 0. Чем больше единиц, тем выше помехоустойчивость.

Активная помехоустойчивость – вероятность ошибочного приема можно повысить для элементарного сигнала и кодового сообщения за счет повторения передаваемого сигнала (дублирования).

P1ош = 10 –2

Pош = P1ошP2ош =10 –4

Активная помехоустойчивость при передаче кодовых сигналов – применение кодов, исправляющих ошибки.

Пассивная помехоустойчивость – коды, обнаруживающие ошибки.

Pпр = 1 – Pош Pпас

Pош = C m n P m ош(1 – Pn) n m

Оценка элементарного сигнала

S(t) = Sm sinω0 t, t tи.

1 – S(t)

Учитывая, что огибающая В имеет закон распределения — закон Релея

P1(1) = P(C ≥ S0)

P1(0) = P(C < S0)

P0(0) = P(B < S0)

P0(1) = P(B S0)

— обобщенный закон Релея

I0 – коэффициент нулевого порядка Бесселевой функции разложения по аргументу.

Pош = 0.5[P1(0)+P0(1)]

Введем относительные величины:

Если обозначить

Если отыскать минимум этой функции по h, то получим, что при z оптимальном или :

Спектральные плотности некоторых сигналов

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды . Функция описывает прямоугольный импульс длительности и единичной амплитуды:

Спектральная плотность прямоугольного импульса равна:

  • Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса .
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала во временно́й области.

Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительности и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса длительности и амплитуды :

  • Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
  • Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .

Гауссов импульс задается выражением:

График гауссова импульса при различном значении и показан на рисунке 4а.

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

  • Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

  • Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.

Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

Важным частным случаем является , тогда будет иметь спектральную плотность , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось zykov 04.03.2022, 11:25, всего редактировалось 1 раз.

Ну как не имеет? Спектр звезды складывается из спектров излучения отдельных атомов, а их можно описать квантовомеханически, и на собственные значения выйти. Просто далёкий путь — но связь есть, тут не просто случайное совпадение.

Ну вот берёте вы, для простоты, синусоиду. Делаете ей Фурье. Получаете одну комплекснозначную величину, отличную от нуля. Если вдруг возьмёте ту же синусоиду, но регистрировать её будете в другой момент времени, соответствующая величина будет иметь тот же модуль, но иной аргумент. И когда Вы пожелаете усреднить по нескольким реализациям, которые регистрируются в моменты времени, связь которых с фазой Вы контролировать не можете, то после усреднения получится 0. То есть вот этот неизвестный заранее сдвиг фазы относительно условного момента начала регистрации у нас мешающий параметр, а если он различен в разных реализациях, то и вовсе обнулит нам ответ, хотя сигнал имеется. Поэтому берём коэффициенты разложения, умножаем на комплексно сопряжённые — получаем квадраты модулей, которые уже от момента начала не зависят, и мы их можем усреднять, не боясь потерять всё.

Спектральная плотность имеет размерность [квадрат размерности сигнала] х сек. Если квадрат размерности можно интерпретировать, как мощность (скажем, сигнал в вольтах, а сопротивление нагрузки постоянно), то можно говорить о спектре мощности. Если нельзя — тоже, бывает, говорят. Общепонятная неточность выражения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *