Главная страница » Что такое тривиальное решение

Что такое тривиальное решение

  • автор:

Тривиальность (математика) — Triviality (mathematics)

В математике прилагательное trivial часто используется для обозначения утверждения или случая, которые могут быть легко получены из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). Существительное тривиальность обычно относится к простому техническому аспекту некоторого доказательства или определения. Термин на математическом языке происходит от средневековой учебной программы тривиума , которая отличается от более сложной учебной программы квадривиума . Противоположность тривиальности — это нетривиальность , которая обычно используется, чтобы указать, что пример или решение непросто, или что утверждение или теорему нелегко доказать.

Содержание

Тривиальные и нетривиальные решения

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего

  • Пустой набор : набор, содержащий нулевые или нулевые члены
  • Тривиальная группа : математическая группа, содержащая только элемент идентичности.
  • Тривиальное кольцо : кольцо, определенное на одноэлементном множестве

« Тривиальный » также можно использовать для описания решений уравнения, которые имеют очень простую структуру, но для полноты его нельзя опускать. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

у ′ знак равно у

где — функция , производная которой равна . Тривиальное решение у знак равно у ( Икс ) <\ Displaystyle у = у (х)>у ′

а нетривиальное решение

Дифференциальное уравнение с граничными условиями важно в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Он всегда включает решение , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть другие решения ( синусоиды ), которые называют «нетривиальными» решениями. ж ″ ( Икс ) знак равно — λ ж ( Икс ) <\ displaystyle f '' (x) = - \ lambda f (x)>ж ( 0 ) знак равно ж ( L ) знак равно 0 <\ Displaystyle f (0) = f (L) = 0>ж ( Икс ) знак равно 0

Точно так же математики часто описывают Великую теорему Ферма как утверждение, что не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения , где n больше 2. Ясно, что есть некоторые решения уравнения. Например, является решением для любого n , но такие решения очевидны и доступны без особых усилий, а значит, «тривиальны». а п + б п знак равно c п <\ Displaystyle а ^ <п>+ Ь ^ <п>= с ^ <п>> а знак равно б знак равно c знак равно 0

В математических рассуждениях

Тривиальный может также относиться к любому простому случаю доказательства, которое для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства с помощью математической индукции состоят из двух частей: «базовый случай», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, n = 0 или n = 1), и индуктивный шаг, который показывает, что если теорема верно для определенного значения n , то это также верно для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но индуктивный шаг тривиален. Точно так же можно было бы доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного набора. В основной части доказательства рассмотрим случай непустого множества и подробно рассмотрим его члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально принадлежит всем членам, поскольку их нет (подробнее см. пустую истину ).

В математическом сообществе распространена шутка, что «тривиальная» синонимична слову «доказано», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она истинна.

Другая шутка касается двух математиков, которые обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого дать объяснения он затем переходит к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Эти анекдоты указывают на субъективность суждений о тривиальности. Шутка также применима, когда первый математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее сам. Часто в шутку теорему называют «интуитивно очевидной». Кто-то, имеющий опыт в области вычислений , например, счел бы следующее утверждение тривиальным:

Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии некоторого числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может опираться на замечание о том, что у любого натурального числа есть преемник — утверждение, которое само должно быть доказано или приниматься в качестве аксиомы (подробнее см. Аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства

В некоторых текстах, тривиальное доказательство ссылается на заявление с участием материала импликации PQ, где следствие , Q , всегда верно. Здесь Доказательство непосредственно вытекает в силе определения материальной импликации, так как импликация , независимо от значения истинности в предшествующем P .

Родственное понятие — пустая истина , где антецедент P в материальной импликации PQ всегда ложен. Здесь импликация всегда истинна, независимо от истинностного значения последовательного Q — опять же в силу определения материальной импликации.

Слово дня: тривиальный

Фото автора Ксения Жевлакова

В Средневековье латинским термином trivium, помимо перекрёстка трёх дорог, также обозначали первую ступень образования — минимальный уровень знаний: грамматику, риторику и диалектику. Поэтому общепонятные, доступные и простые вещи называют тривиальными.

В русский язык слово пришло из французского в начале XIX века и первоначальный смысл не поменяло. Современные толковые словари предлагают использовать его для описания чего‑либо заурядного или обыкновенного.

тривиальный

Лишённый свежести и оригинальности, избитый, неоригинальный, банальный.

Толковый словарь Ушакова

ТРИВИА́ЛЬНЫЙ, тривиальная, тривиальное; тривиален, тривиальна, тривиально (лат. trivialis, букв. находящийся на перекрестке трех дорог, уличный) (книжн.). Избитый, пошлый, лишенный свежести и оригинальности. Тривиальные привычки. Тривиально (нареч.) сострить.

Толковый словарь Ожегова

ТРИВИА́ЛЬНЫЙ, -ая, -ое; -лен, -льна (книжн.). Неоригинальный, банальный. Тривиальная мысль.

| сущ. тривиальность, -и, жен.

Толковый словарь Даля

ТРИВИАЛЬНЫЙ — франц. пошлый, опошленный. -ность, пошлость.

Энциклопедический словарь

ТРИВИА́ЛЬНЫЙ -ая, -ое; -лен, -льна, -льно. [франц. trivial] Обыкновенный, заурядный, неоригинальный. Т. сюжет. Т-ая мысль. Т. анекдот. Т-ая пьеса.

Тривиа́льно, нареч.

Академический словарь

-ая, -ое; -лен, -льна, -льно.

Лишенный свежести, оригинальности, новизны; избитый, пошлый.

Тривиальный сюжет. Тривиальная мысль. Тривиальная шутка.

Есть что-то тривиальное, пошлое в ухаживанье за своею гувернанткой. Л. Толстой, Анна Каренина.

Леонтий был классик. — В новых литературах, там, где не было древних форм, признавал только одну высокую поэзию, а тривиального, вседневного не любил… И. Гончаров, Обрыв.

Его словечки вроде выставил, заехал в харю, мразь, изобрази самоварчик, его привычка чокаться и причитывать за рюмкой казались ей тривиальными. Чехов, Три года.

Словарь слов из произведений русской литературы

Тривиальный, ая, ое.

Слишком обыденный, лишенный свежести, оригинальности, новизны.

Есть что-то тривиальное, пошлое в ухаживании за своею гувернанткою. // Лев Толстой. Анна Каренина //

Сборник слов и иносказаний

тривиальный (иноск.) — о плоском, пошлом, опошленном, весьма обыкновенном, посредственном

Тривиальность — плоскость, пошлость

Ср. Лекция началась и увенчалась блистательным успехом. Дамы нашли, что содержание ее крайне тривиально, но так как от русского литератора ничего иного и требовать невозможно, то они остались довольны.

Дружинин. Благотворительность особого рода.

Ср. Trivialschulen (нем.) — школы для младшего возраста, переходные, по окончании которых ученики переходили от общего, обыкновенного начального образования — в специальные заведения, избирая как бы разные определенные пути.

Ср. Trivium (tres, три — via, путь) — распутье.

Ср. Sum in trivio — я на распутье, не знаю, на что решиться.

Орфографический словарь

тривиа́льный; кратк. форма -лен, -льна

Словарь ударений

тривиа́льный, -лен, -льна, -льно, -льны; сравн. ст. -ее

Формы слов для слова тривиальный

тривиа́льный, тривиа́льная, тривиа́льное, тривиа́льные, тривиа́льного, тривиа́льной, тривиа́льных, тривиа́льному, тривиа́льным, тривиа́льную, тривиа́льною, тривиа́льными, тривиа́льном, тривиа́лен, тривиа́льна, тривиа́льно, тривиа́льны, тривиа́льнее, потривиа́льнее, тривиа́льней, потривиа́льней

Синонимы к слову тривиальный

прил., кол-во синонимов: 16

Тезаурус русской деловой лексики

Syn: азбучный, простой, элементарный, примитивный (усил.), обыденный

Ant: необычный, незаурядный, необыкновенный, нетривиальный

Лингвистические термины

тривиальный (фр. trivial < лат. trivialis, обыкновенный)

Неоригинальный, избитый, пошлый; Т. выражение в речи — выражение, лишенное свежести и оригинальности.

Морфемно-орфографический словарь

Грамматический словарь

Этимологический словарь

Заимств. в первой половине XIX в. из франц. яз., где trivial < лат. trivialis «избитый, обычный», суф. производного от trivium «большая дорога, площадь, перекресток», сложение tri «три» и via «дорога».

Через. нем. trivial или франц. trivial — то же из лат. triviālis «то, что валяется на большой дороге «: trivium «перекресток трех дорог».

Словарь галлицизмов русского языка

ТРИВИАЛЬНЫЙ ая, ое. trivial <лат. trivialis обычный, простой. Лишенный новизны, оригинальности; избитый, пошлый. БАС-1. В переписке с бароном Черкасовым благородство Екатерины и в том между прочим заметно, что она уклоняется забавно, веледушно, юморично от тех тривиальностей и вызовов на mesures inopportunes, которые ловко подставляет ей барон, желая затащить мудрую государыню dans un dédal inextricable низких и недостойных мер для самодержицы. 1837. Ю. Н. Бартенев Зап. // РА 1886 2 306. Иногда, как нарочно, в ту минуту, когда слова ея, полныя глубокаго и серьезнаго смысла, заставляют меня видеть ее в другом свете, — вдруг тривиальное, и очень, выражение, обольет вас холодом. 1845. И. С. Аксаков Письма 1888 1 290. Нет ничего скучнее, как слушать разсказ напыщенный или безцветный, тривиальный или фразированный. 1847. Соколов Свет. человек 43. Он < Levasfor> ужасно trivial и только изредка бывает действительно смешон. 16. 3. 1861. Константин Дн. 311.♦ Тривиальная шутка, острота. Она сделала очень серьезную мину; так как очень может быть, что шутка моя была тривиальна. Дост. Подросток. Не допускает никакой тривиальности и потребовал, чтобы многое <в пьесе> было переменено непременно. Сухово-Кобылин Дн. // Встречи с прошлым 3 33. || Слишком заурядный, простой. БАС-1. Он был даже миловиден .. несколько тривиален, правда, но это уж самая худшая черта и его характера и его физиономии. Черныш. Алферьев. || устар. Обыденный, повседневный. БАС-1. Леонтий был классик .. В новых литературах .. признавал только одну высокую поэзию, а тривиального, ежедневного не любил. Гонч. Обрыв. [Кнуров:] Ведь в Ларисе Дмитриевне земного, этого житейского, нет. Ну. понимаете, тривиального, что нужно для бедной семейной жизни. А. Остр. Бесприданница. || устар. Простонародный. БАС-1. < Лабзин> любил употреблять резкие, так называемые тривиальные, или простонародные, выражения, как например, выцарапать глаза, заткнуть за опяс, разодрать глотку и т. п. С. Аксаков Восп. < Актер> образовал его по-своему, то есть, одел его во фрак, отучил от тривиальных привычек и слов, вроде следующих: оттелева, отселева, ахтер. А. Остр. Кузьма Самсоныч. В первое время Костя не нравился Юлии Сергеевне; его бас, его словечки . его привычка чокаться и причитывать за рюмкой казались ей тривиальными. Чехов Три года. Тривиально, нареч. Русские узнаются здесь <во Франции> потому, что часто употребляют «donc» и «déja». Это нехорошо звучит, тривиально. 27. 10. 1897. Чехов — М. П.Чеховой. — Лекс. Даль-1: тривиа/льный; Михельсон 1866: тривиально.

Словарь иностранных слов

ТРИВИАЛЬНЫЙ (лат. trivialis — находящийся на распутье, на публичной дороге). Пошлый, площадный; простонародный, грубый.

ТРИВИАЛЬНЫЙ

тривиальный прил. Лишенный свежести и оригинальности, избитый, пошлый.

Видео на тему: "ТРИВИАЛЬНЫЙ"

тривиальный
trivial, banal, commonplace; (о выражении и т. п.) trite, hackneyed

Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Чудинов А.Н. , 1910 .

Словарь иностранных слов.- Комлев Н.Г. , 2006 .

Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке.- Попов М. , 1907 .

Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.- Михельсон А.Д. , 1865 .

Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Павленков Ф. , 1907 .

Новый словарь иностранных слов.- by EdwART, , 2009 .

Большой словарь иностранных слов.- Издательство «ИДДК» , 2007 .

Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык , 1998 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *