Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников.
-
Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел ( x , y , z ) , удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,029
- разное 16,829
х 2 +y 2 =z 2 , где x и y — катеты прямоугольного треугольника, а z — гипотенуза.
Могут ли три числа представлять стороны прямоугольного треугольника?
Определить могут ли 3 числа представлять стороны прямоугольного треугольника
Даны три ненулевых целых числа. Определить могут ли они представлять стороны прямоугольного.
Определить могут ли три значения представлять стороны треугольника.
Привет всем:) В книге по С++, попалось вот такое задание( смотрите вложение ). Я в замешательстве.
Определить, могут ли три заданных числа являться длинами сторон прямоугольного треугольника
Задано три натуральных числа. Определить являются ли заданные числа теоремой пифагора
Определить могут ли три заданных положительных числа быть сторонами прямоугольного треугольника
Даны 3 положительных числа, определить могут ли они быть сторонами прямоугольного треугольника.
Сообщение от Andrej
Нет. Треугольник прямой. Поэтому по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — это всегда самая длинная сторона. Значит выбрать из трёх чисел самое большое и сравнить его квадрат с суммой квадратов двух других сторон.
Добавлено через 45 секунд
Сообщение от kiff20072008
Сообщение было отмечено Eva Rosalene как решение
Решение
taras atavin, вот поэтому я предлагаю отсечь вариант вырожденности при вводе. а проверять только теорему Пифагора.
Добавлено через 5 минут
А вообще, если строго следовать условию:
Сообщение от Nik789
Сообщение от ildwine
Сообщение от ildwine
Сообщение от ildwine
И зачем столько повторяющихся проверок? Тем более незачем проверять ((a < 0) || (b < 0) || (c < 0)) после выхода из цикла. Твой первый вариант был более правильный.
Сообщение от ildwine
taras atavin, если требуется проверить на то что 3 числа могут или нет быть сторонами прямоугольного треугольника, то необходимо и достаточно, чтобы числа были > 0 и выполнялось условие "теорема Пифагора". Если оно выполняется, то значит 3 стороны 100% образуют треугольник и нет смысла проверять треугольник на существование.
Добавлено через 5 минут
korvin_, ну я думал вывести результат правильно, а в цикле я проверяю корректность ввода не более.
В цикле важно не ввести число равное нулю, что запрещено условием. Отрицательные числа рассматриваются как аргументы. ибо не сказано что вводить надо положительные.
Сообщение от ildwine
korvin_, ну если бы ТС был поактивнее, то наверное всей этой дискуссии могло и не быть.
Добавлено через 36 секунд
Давно бы сказал после первого поста с ответом "Спасибо, круто" и все забили.
Сообщение было отмечено ildwine как решение
Решение
Введите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника
Добрый вечер, уважаемые фурумчане! У меня возникли кое какие проблемы в задаче. Прошу вас помочь с.
Введите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, выведите их в порядке возрастанияВведите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, выведите их в.
Проверить могут ли числа представлять собой значения длин сторон треугольника
Доброе время суток! Возникли проблемы с написанием программы!! Условие задачи: Ввести 10-12.
Определить, могут ли введенные числа А, В, С являться сторонами прямоугольного треугольника
Помогите написать программу на C++ через switch или if Определить, могут ли введенные числа А, В.
Определить, могут ли введенные числа быть сторонами прямоугольного треугольника
Задание 1. Создать функцию вклад- по параметрам начальная сумма. число лет, процент выдавать.
Проверить могут ли 3 числа быть длинами сторон прямоугольного треугольника
Введите три числа. Если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, выведите их в.
Треугольник с целыми сторонами
Основная цель работы: исследование
целочисленных прямоугольных треугольников.
Данная тема представляет определенный интерес, так как её истоки относятся к древности, так называемой знаменитой теореме Пифагора.
Основные задачи исследования:
1) познакомиться с понятием целочисленного прямоугольного треугольника;
2) выяснить, существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число n ( n £20);
3) выяснить, при каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является;
4) выяснить, какими могут быть значения катетов и гипотенузы целочисленных прямоугольных треугольников ( в смысле четности).
Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод
подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и сравнение результатов; метод обобщения.
Образец оформления основной части работы
Часть 1. Основные понятия, используемые в работе
1.1. Понятие прямоугольного треугольника
Определение 1. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника, образующие прямой угол называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла – гипотенузой.
Обычно длины катетов обозначают буквами a и b, длину гипотенузы – с, причем a + b >с.
1.2. Теорема Пифагора
Теорема: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, т.е. с помощью обозначений эту теорему можно записать так: a 2 +b 2 = с 2 .
В настоящее время известно более 150 доказательств теоремы Пифагора, на которых мы не будем останавливаться, так как это не является предметом данной работы.
Отметим лишь, что эта теорема была известна в Древнем Вавилоне еще задолго до Пифагора (580-500 гг. до н.э.), примерно за 1000 лет.
По-видимому, её назвали именем древнегреческого математика Пифагора, так как согласно
легенде, он одним из первых доказал ее.
В геометрии также доказана и обратная теорема к теореме Пифагора: если длины сторон треугольника a , b и с удовлетворяют условию a 2 +b 2 = с 2 (1), то такой треугольник будет прямоугольным.
1.3. Понятие целочисленного прямоугольного треугольника
Треугольник со сторонами 3,4 и 5 является прямоугольным ( по обратной теореме Пифагора), так как удовлетворяет указанному выше условию (1). Такие треугольники называются целочисленными прямоугольными треугольниками. Некоторые такие треугольники были известны еще в Древнем Вавилоне и Египте, например, треугольники с длинами сторон 5,12 и 13; 17, 24 и 25.
Понятие целочисленного треугольника тесно связано с понятием диофантового уравнения, т.е. уравнения вида х 2 +y 2 =z 2 , которые также называются вавилонскими, а тройка чисел, удовлетворяющая этому уравнению, называется пифагоровой.
Часть 2. Постановка и решение задач
Исследования
2.1. Постановка первой задачи
Пусть дано, например. число n =12. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12?
Пусть х и у – катеты прямоугольного
треугольника и 0 2 +y 2 =12 2 или х 2 +y 2 =144.
Составим таблицу 1.
| х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| х 2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 |
| у 2 | 143 | 140 | 135 | 128 | 119 | 108 | 95 | 80 | 63 | 44 | 23 |
Из таблицы видно. что не существует целого значения у, значит не существует и целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 12.
Ответ: не существует целочисленного
прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, равной 12.
Пусть теперь n =13. Тогда нам нужно
решить уравнение х 2 +y 2 =169.
Аналогично составим таблицу 2.
| х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| х 2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
| у 2 | 168 | 165 | 160 | 153 | 144 | 133 | 120 | 105 | 88 | 69 | 48 | 25 |
Из таблицы видно, что существует два
целых значения у: у=12 и у=5, значит с гипотенузой, равной 13, существует целочисленный прямоугольный треугольник с длинами сторон 5,12 и 13.
Для того чтобы и дальше не составлять
аналогичные таблицы, поступим по-другому. Так как по условию существования треугольника
х+у > n и, мы положили, что у £ х, значит
х 2 +y 2 £ 2х 2 , а 2х 2 ³ n 2 . Итак, 2х 2 ³169, отсюда находим, что х 2 ³84. Значит, достаточно проверить лишь три значения х 2 : 100, 121 и 144. Находим у 2 , из которых только одно значение целое. Это у=5 при х = 12.
Аналогично исследуем все остальные значения n (n £20). Результаты представим в виде
таблицы 3 ( Приложение). Ясно, что n ³3.
Треугольники со сторонами (3;4;5). (6;8;10), (9;12;15) подобны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только не подобные треугольники с гипотенузой n =5,13 и 17. Все эти числа оказались нечетными простыми числами.
Итак, сделаем первый вывод: существуют три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n, равной нечетному простому числу, где n£20.
2.2. Постановка второй задачи
При каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является?
Составим таблицу 4.
| нечетное простое число р | Прямоугольные треугольники с гипотенузой р |
| 3 | не существует |
| 5 | 25= 16+9 |
| 7 | не существует |
| 11 | не существует |
| 13 | 169 = 144 +25 |
| 17 | 289= 225+64 |
| 19 | не существует |
| 23 | не существует |
| 29 | 841= 441+400 |
| 31 | не существует |
Выпишем простые нечетные числа в два ряда и понаблюдаем за ними:
5, 13,17,29, … и 3,7,11,19,23,31, …
8 4 12 4 4 8 4 8
Итак, сделаем второй вывод: все разности делятся на 4, причем в первом случае остаток от деления простых чисел на 4 равен 1, а во втором -3.
Возникает гипотеза: простое число вида 4к+1 является гипотенузой, а простое число вида 4к+3 –не является. Проверим ее.
2.3. Теорема о примитивной
пифагоровой тройке
Определение 2. Пифагорову тройку чисел, в которой все числа взаимно просты, называют
примитивной.
Например, (3,4,5) –примитивная пифагорова тройка, а (6,8,10) –непримитивная.
Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть четными ( тогда и третье число должно быть четным), но все они не могут одновременно быть нечетными.
Вывод: в примитивной пифагоровой тройке должно быть одно число четное, а два нечетных.
Замечание: 1. Надеемся, что на данном
примере мы смогли показать вам, как примерно можно представить результаты своего исследования.
Мы не стали здесь приводить всю работу целиком, а показали лишь, как можно оформить её.
Образец оформления заключения
Заключение
Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:
1. Существует три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n ( n £20), равной нечетному простому числу. В общем случае, конечно их бесконечно много, так как доказано в математике, что простых чисел бесконечно много.
2. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках только одна сторона
может быть выражена четным числом, остальные две стороны – нечетным.
3. В целочисленных примитивных прямоугольных треугольниках гипотенуза не может быть выражена четным числом.
4. Стороны целочисленного прямоугольного треугольника могут быть найдены по различным формулам. Вывод одной из них представлен в
работе.
списка использованной литературы
Литература:
1. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10-11 классов общеобразоват. учрежд. – М., 1996. С. 83-87.
2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики /Квантор.-1991.№6.С.33-35.
3. Пойа Дж. Математика и правдоподобные
рассуждения: перевод с анг. И.А. Вайнштейна /Под ред. С.А. Яновской. –Изд. 2-е.-М., 1975.С.80-82.
Елена Юрьевна Сагитова, студентка группы М 401
факультета математики и информатики ТГУ
Роза Азербаевна Утеева, доктор педагогических наук, профессор, зав.кафедрой алгебры и геометрии ТГУ
Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».
Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».
Просмотр содержимого документа
«Презентация по математике на тему:»Треугольники с целочисленными сторонами».»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ТЕХНИКУМ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ
«Треугольники с целочисленными сторонами»
студента 1 курса Кривоногих Константина Алексеевича
Низамова Гульнара Ахмедовна
— это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами
Результаты, полученные при исследовании целочисленных треугольников будут интересны как специалистам в области элементарной геометрии, так и студентам при поиске нестандартных способов и методов решения задач, связанных с теорией целых чисел
— доказать, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).
— рассмотреть основные свойства целых треугольников;
— изучить треугольники Герона, целочисленные треугольники на двумерной решетке;
— рассмотреть целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов, с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей .
Основные свойства Целочисленных треугольников с заданным периметром.
Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника.
c и a ≤ b ≤ c. Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).» width=»640″
Целочисленные треугольники с заданной большей стороной .
Число целочисленных треугольников с заданной наибольшей стороной c равным числом троек (a, b, c), таких, что a + b c и a ≤ b ≤ c.
Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).
Площадь целочисленного треугольника
По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины стороны равны a, b и c, то поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины.
УГЛЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°.
ДЕЛЕНИЕ СТОРОНЫ ВЫСОТОЙ
Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.
Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет пропорциональные стороны.
для целых m , n и k , удовлетворяющих условиям
Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии
Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где
и где g является наибольшим общим делителем чисел -2mn и +2mn.
Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом , где q = gcd (a,b,с) сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера
n . 2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + ) c = ( + )2, d = 2mn (- ) Полупериметр = m (m+n) ( + ), Площадь = mn (-) ( + )2 для взаимно простых чисел m , n с m n . 3. (a,b,c,d) = (xz,yz,,xy).» width=»640″
Полупериметр = m (m+n)
где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m n .
2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + )
Полупериметр = m (m+n) ( + ),
Площадь = mn (-) ( + )2
для взаимно простых чисел m , n с m n .
Целочисленные треугольники на двумерной решетке
Двумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид ( x, y ), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам.
Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке .
Целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов. с рациональной биссектрисой
Семейство треугольников с целочисленными сторонами a,b, c и рациональной биссектрисой d угла A задаётся уравнениями
Целочисленные треугольники с одним углом
Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии). У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны.
Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формуле :
со взаимно простыми целыми m , n и с 0 
Целочисленные треугольники с одним углом 120°
Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формулы
со взаимно простыми целыми m , n и 0 
В ходе выполнения исследования доказано, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).
Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессии.
Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами называются пифагоровыми (треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским), а тройки целых чисел
Ваш ответ
Похожие вопросы
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.