Что такое характеристическая функция

Характеристическая функция случайной величины

Для случайной величины $\xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|\phi_<\xi>(t)| \le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $\xi$ найти характеристическую функцию $\phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(\xi=k)=a^k/k!\cdot e^<-a>, k=1,2. a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $\phi(t)$, кумулянтную функцию $\gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^, 0 \lt p \lt 1, k=0,1,2. n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^ (a\gt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_<\xi>(x)=e^<-|x|>/2.$

§31. Характеристические функции

Используем обозначения: i= — мнимая единица, t — вещественная переменная, e it =cost+isint — формула Эйлера, M(η+iζ)=Mη+iMζ — способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины η+iζ, если математические ожидания ее действительной (η) и мнимой (ζ) частей существуют.

Модулем комплексного числа z=х+iу называется |z|= , так что |e it |=1.

Определение. Функция φ_ξ(t)=Me itξ называется характеристической функцией случайной величины ξ.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ =e it ∙0 Р(ξ=0)+e it ∙1 Р(ξ=1)=1–р+рe it .

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами п и р. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = = =(1-р+рe it ) n .

Последнее равенство является биномом Ньютона.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = =

= = exp<λ(e it -1)>.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)=Me itξ = = = =

=

= ,

поскольку при х→∞ модуль величины е -х ( α — it ) =e — αx ·e itx стремится к нулю: |е -х( α — it ) |=e — αx →0.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

φ_ξ(t)= = =

= = .

При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и учли, что интеграл по всей прямой от функции =1.

Свойства характеристических функций.

Свойство 1. Характеристическая функция всегда существует:

|φ_ξ(t)|=|Me itξ |≤M|e itξ |=M1=1

Обычные математические ожидания существуют не у всех распределений.

Свойство 2. По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, а также плотность или таблица распределения). То есть если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих случайных величин совпадают.

Формулы, с помощью которых это делается, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле

f_ξ(x)= .

Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

Свойство 3. Характеристическая функция случайной величины а+bξ связана с характеристической функцией случайной величины равенством

φ_а+bξ(t)=Me it ( а + bξ ) =e it а φ_ξ (tb).

Пример. Вычислим характеристическую функцию случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами а и σ 2 . У стандартизованной случайной величины ζ= характеристическая функция равна φ_ζ(t)= . Тогда характеристическая функция случайной величины ξ=а+σζ равна

φ_ξ (t)=φ_{а +σζ} (t)=e it а φ_ζ (tb)=e it а =exp .

Свойство 4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины ξ и η независимы, то, по свойству математических ожиданий

φ_ξ+η(t)=Me it ( ξ + η ) =Me itξ Me itη =φ_ξ(t)φ_η(t).

Этим свойством воспользуемся для доказательства леммы, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.

Лемма. Пусть случайные величины ξ и η независимы. Характеристическая функция суммы ξ+η равна

φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t)φ_η(t)=exp exp =exp .

То есть характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального распределения с параметрами а₁+а₂, . Тогда ξ+η по свойству характеристической функции.

Пример. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения и распределения Пуассона, используя вычисленные в предыдущих примерах характеристические функции.

Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона П_λ и П_μ характеристическая функция суммы

равна характеристической функции распределения Пуассона с параметром λ+μ.

Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями В_п,р и В_т,р характеристическая функция суммы

φ_ξ+η(t)=φ_ξ(t)φ_η(t)=(1-р+рe it ) n (1-р+рe it ) т =(1-р+рe it ) n +т

равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами п+m, p.

Свойство 5. Пусть существует момент порядка k=1,2. случайной величины ξ, то есть M|ξ| k <∞. Тогда ее характеристическая функция φ_ξ(t) непрерывно дифференцируема k раз, и ее k-я производная в нуле связана с моментом порядка k равенством:

= = =i k Mξ k . .

Существование и непрерывность k—й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.

Свойство 6. Пусть существует момент порядка k=1,2. случайной величины ξ, то есть M|ξ| k <∞. Тогда ее характеристическая функция φ_ξ(t) в окрестности точки t=0 разлагается в ряд Тейлора

φ_ξ(t)=φ_ξ(0)+ +o(|t k |)=1+ +o(|t k |)=

=1+itMξ— Mξ 2 +…+ Mξ k +o(|t k |).

Ряды Тейлора, как правило, возникают при предельном переходе. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем.

Теорема (о непрерывном соответствии). Случайные величины ξ_п слабо сходятся к случайной величине ξ тогда и только тогда, когда для любого t характеристические функции сходятся к характеристической функции φ_ξ(t).

Слабая сходимость случайных величин имеет место, когда последовательность функций распределений случайных величин ξ_п сходится к функции распределения случайной величины  в точках непрерывности последней.

Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами функций распределения со слабой сходимостью и характеристических функций со сходимостью в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия — в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом классе.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

преобразование Фурье — Стилтьеса вероятностной меры — комплскснозначная функция, заданная на всей числовой оси формулой

X. ф. случайной величины Xпо определению есть X. ф. ее вероятностного распределения

Метод, связанный с использованием X. ф., был впервые применен А. М. Ляпуновым и позднее стал одним из основных аналитич. методов теории вероятностей. Особенно эффективно он используется при доказательстве предельных теорем теории вероятностей, напр. доказательство центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин со 2-ми моментами сводится к элементарному соотношению

Основные свойства X. ф. 1) и положительно определена, т. е.

для любых конечных наборов комплексных чисел и аргументов

2) равномерно непрерывна на всей оси

4) в частности, принимает только действительные значения (и является четной функцией) в том и только том случае, когда соответствующее вероятностное распределение симметрично, т. е. где

5) X. ф. однозначно определяет меру; имеет место формула обращения:

для любых интервалов (а, 6), концы к-рых имеют нулевую m-меру. Если интегрируема (абсолютно, если интеграл понимать в смысле Римана) на то соответствующая функция распределения имеет плотность ри

6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы двух независимых случайных величин) есть произведение их X. ф.

Следующие три свойства выражают связь между существованием моментов случайной величины и степенью гладкости ее X. ф.

7) Если для нек-рого натурального п, то при всех натуральных существуют производные порядка rот X. ф. случайной величины Xи имеет место равенство

Т. о.,

8) Если существует то

9) Если для всех пи

то при всех имеет место

Использование метода X. ф. главным образом основано на указанных выше свойствах X. ф., а также на следующих двух теоремах.
Теорема Бохнера (описание класса X. ф.). Пусть функция f задана на и f(0)=1. Для того чтобы f была X. ф. нек-рой вероятностной меры, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна и положительно определена.
Теорема Леви (непрерывность соответствия). Пусть -последовательность вероятностных мeр, а -последовательность их X. ф. Тогда слабо сходится к нек-рой вероятностной мере (т. е. для произвольной непрерывной ограниченной функции в том п только том случае, если н каждой точке сходится к нек-рой непрерывной функции f; в случае сходимости функция Отсюда следует, что относительная компактность (в смысле слабой сходимости) семейства вероятностных мер равносильна равностепенной непрерывности в нуле семейства соответствующих X. ф.
Теорема Бохнера позволяет смотреть на преобразование Фурье — Стилтьеса как на изоморфизм между полугруппой (относительно операции свертки) вероятностных мер в и полугруппой (относительно поточечного умножения) положительно определенных непрерывных равных в нуле единице функций на Теорема Леви утверждает, что этот алгебраич. изоморфизм является и топологич. гомеоморфизмом, если в полугруппе вероятностных мер иметь в виду топологию слабой сходимости, а в полугруппе положительно определенных функций — топологию равномерной сходимости на ограниченных множествах.
Известны выражения X. ф. основных вероятностных мор (см. [1], [2]), напр., X. ф. гауссовой меры со средним ти дисперсией есть
Для неотрицательных целочисленных случайных величин X, наряду с X. ф., используется ее аналог — производящая функция

связанная с X. ф. соотношением
X. ф. вероятностной меры в конечномерном пространстве определяется аналогично:

где <t, х> означает скалярное произведение. Сформулированные выше факты справедливы и для X. ф. вероятностных мер в

Лит.:[1] Лукач Е., Характеристические функции, пер. с англ., М., 1979; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. пер. с англ., М., 1967; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973; [4] 3олотарев В. М., Одномерные устойчивые распределения, М., 1983.
Н. H. Вахания.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Содержание

Определение

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.