Как складывать числа в восьмеричной системе

Счет в различных системах счисления

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
4. 6 + 1 = 7.
5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
4. 1 + 1 = 2.
5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
4. Ответ: 1011011.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
5. Помним правило умножения на 1;
6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

Системы счисления и арифметические операции в них

Система счисления – это способ записи чисел с помощью письменных знаков.

Операция сложения в разных системах счисления

Операция сложения в десятичной системе счисления давно известна каждому школьнику. Большие числа удобно суммировать в столбик. Например:

Рисунок 1. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основное, что нужно помнить это разрядность систем счисления. Необходимо освежить в памяти алфавит системы счисления и все операции окажутся лёгкими и простыми.

Сложение в двоичной системе счисления выполняется абсолютно аналогично десятичной системе. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 2. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Самое основное — это нужно помнить, что в двоичной системе счисления используются всего два значения, а именно нуль и единица. Это означает, что сложение двух единиц даёт в сумме нуль в текущем разряде и единицу переноса в следующий разряд. В приведённом выше примере действия выполняются в следующем порядке:

1. Операция сложения начинается с младшего разряда, то есть справ налево. Нуль плюс нуль равен нулю, то есть пишем нуль в младшем разряде и выполняем переход на следующий разряд.
2. Суммируем один плюс один, получаем два. Но это основание системы счисления, поэтому в этом разряде пишем ноль, а единица переносится в следующий разряд.
3. В данном разряде нужно сложить три единицы, что в сумме даёт тройку, что также недопустимо. Вычитаем из трёх основание системы счисления, то есть два и получаем единицу. То есть в данном разряде пишется единица и единица переносится в следующий разряд.
4. Суммируем две единицы и снова сумма равна двум, что означает запись нуля в данном разряде и перенос единицы в следующий разряд.
5. Получаем итоговый результат: 10100.

Далее рассмотрим операцию сложения в восьмеричной системе счисления. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 3. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Действия выполняются в следующем порядке:

1. Выполняем суммирование младших разрядов, то есть четыре плюс три равняется семи.
2. Далее выполняется суммирование следующего разряда, а именно пять плюс четыре равно девяти. Вычитаем из девяти основание системы счисления, то есть восемь, и получаем единицу в этом разряде и единицу переноса в следующий.
3. Выполняем суммирование текущего разряда, три плюс семь равно одиннадцати. Вычитаем основание восемь, результат равен трём и единица переноса в следующий разряд.
4. Суммируем шесть и один, что даёт в итоге семь.
5. Итоговый результат получается 7317.

Рассмотрим конкретный пример сложения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 4. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем суммирование младших разрядов, то есть два плюс один равняется трём.
2. Суммируем следующий разряд, то есть пять плюс девять равно четырнадцати. Согласно алфавиту шестнадцатеричной системы счисления это символ Е.
3. Суммируем символ С, который означает двенадцать, и восемь, что в итоге равно двадцати. Вычитаем из двадцати основание системы счисления, то есть шестнадцать. Получаем четыре и единицу переноса в следующий разряд.
4. Суммируем две единицы, получаем двойку.
5. Получаем итоговый результат 24Е3.

Операция вычитания в разных системах счисления

Рассмотрим конкретный пример операции вычитания в десятичной системе счисления:

Рисунок 5. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание младших разрядов, то есть три минус один равно двум.
2. Выполняем вычитание в следующем разрядом, от двух отнимаем нуль, получаем два.
3. Необходимо из четырёх вычесть восемь. Выполняем заимствование единицы из старшего разряда и отнимаем от четырнадцати восемь. Результат равен шести.
4. Поскольку было заимствование единицы, то из пяти вычитаем единицу и получаем четвёрку.
5. Итоговый результат: 4622.

Рассмотрим пример вычитания в двоичной системе счисления:

Рисунок 6. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание младших разрядов, один минус один равно нулю.
2. Вычитаем из единицы нуль, в итоге получаем единицу.
3. Поскольку нуль меньше единицы, то выполняем заимствование единицы из старшего разряда и вычитаем из двойки единицу, Итогом будет единица.
4. Итоговый результат: 110.

Рассмотрим пример вычитания в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 7. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание из четырёх тройки, получаем единицу.
2. Вычитаем из пяти нуль, итогом будет нуль.
3. Нельзя из трёх вычесть семь, поэтому выполняем заимствование из старшего разряда. Вычитаем из одиннадцати семь и получаем в итоге четыре.
4. Поскольку было заимствование единицы, то вычитаем из шести единицу и получаем пять.
5. Итоговый результат: 5451.

Рассмотрим пример вычитания в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 8. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание из четырёх три и получаем один.
2. Из пяти вычитаем нуль и получаем в итоге пять.
3. Далее необходимо из трёх вычесть семь, что недопустимо и поэтому заимствуем единицу из старшего разряда. Вычитаем из девятнадцати семь и получаем двенадцать, что в шестнадцатеричной системе обозначается символом С.
4. Так как была заимствована единица, то из шести вычитаем единицу. Итог равен пяти.
5. Итоговый результат равен 5С51.

Операция умножения в разных системах счисления

Рассмотрим пример умножения в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 9. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Умножаем младшие разряды, то есть пять на четыре, получаем двадцать. Число двадцать равно два по восемь (основание системы счисления) плюс четыре. То есть в данном разряде пишем четыре, а двойку переносим в следующий разряд. Выполняем это действие для остальных разрядов, в итоге получаем 40234.
2. Умножаем на нуль, что в итоге дает четыре нуля.
3. Выполняем по аналогии умножение на семь. Результатом будет число 55164.
4. Выполняем суммирование всех произведений, что даёт 5556634. Это и есть итоговый результат умножения.

Рассмотрим пример умножения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 10. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арифметические операции в традиционных системах счисления. Правила преобразования чисел между системами счисления.

Из доказанной в предыдущей лекции теоремы существуют несколько интересных следствий. В частности, о правилах арифметических операций в P-ичных системах счисления, и о преобразовании чисел между системами счисления.

Арифметические операции в традиционных системах счисления

Рассмотрим два числа, \[ X_1 = \sum_^n a_i P^i, \] \[ X_2 = \sum_^m b_i P^i \]

Правила сложения

Правила сложения выводятся очевидным образом:

\[ Y = X_1 + X_2, \] \[ Y = \sum_^<\mathrm(m,n)> (a_i+b_i) P^i = \sum_^

c_i P^i \]

Теперь, по условиям теоремы, \(0\leq c_i < P\) . Поскольку так же \(0\leq a_i < P\) , \(0\leq b_i < P\) , то \(0\leq a_i+b_i \leq P+P-2\) . Таким образом, имеем два варианта для каждого разряда:

1. \(a_i + b_i < P\) . Тогда \(c_i = a_i + b_i\) удовлетворяет условиям теоремы.
2. \(P\leq a_i+b_i < 2P-1\) . Тогда \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + (a_i+b_i) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + (a_i+b_i-P+P) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_) P^ + P^+ (a_i+b_i-P) P^i + \ldots,\] \[ Y = \ldots + (a_ + b_+1) P^ + (a_i+b_i-P) P^i + \ldots,\] и тогда \(c_i = a_i+b_i-P < P-1\) удовлетворяет условиям теоремы, а \(a_+b_ +1 < 2P\) может быть рассмотрено аналогично.

Получаем правила сложения: числа складываются поразрядно, начиная с младшего. Если в результате сложения получается число меньшее основания системы счисления, переходим к следующему разряду. Иначе, из результата вычитается основание системы счисления \(P\) и “переносится” как 1 в следующий разряд.

Для облегчения задачи сложения, можно использовать так называемые таблицы сложения. Таблицы сложения составляются достаточно легко для любой P-ичной системы счисления. Рассмотрим несколько примеров.

Таблица сложения двоичной системы счисления

0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица сложения восьмеричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблица сложения шестнадцатиричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Правила умножения

\[ Y = X_1 \cdot X_2, \] \[ Y = \left(\sum_^n a_i P^i\right) \cdot \left(\sum_^m b_i P^i\right) \]

Раскрывая вторые скобки, получаем:

\[ Y = \sum_^m b_i P^i \left(\sum_^n a_j P^j\right) \]

Внося \(P^i\) в скобку,

\[ Y = \sum_^m b_i \left(\sum_^n a_j P^\right) \]

Обозначим \[ Y_i = b_i \cdot \sum_^n a_j P^j \]

Тогда \[ Y = \sum_^m Y_i P^i \]

Таким образом, каждый разряд \(b_i\) умножается на число \(X_1\) , результат смещается на \(i\) разрядов влево (умножается на \(P^i\) ), затем все промежуточные результаты складываются (правила сложения нам уже известны).

Рассмотрим теперь умножение на один разряд:

\[ Y_i = b_i \cdot \sum_^n a_j P^j = \sum_^n a_j b_i P^j = \sum_^n c_j P^j .\]

По условиям теоремы, \(0\le c_j < P\) . В то же время, \(0 \le a_j b_j \le (P-1)^2\) . \((P-1)^2 = P^2 — 2P + 1 < P^2\) .

Тогда, имеем два варианта:

1. \(a_j b_i<P\) . Тогда \(c_j = a_j b_i\) удовлетворяет условиям теоремы.
2. \(P \le a_j b_i \le (P-1)^2\) . Тогда можем разложить \(a_j b_i = p_j P + c_j\) . В разложении не может быть больше двух членов, поскольку \(a_j b_i < P^2\) . \(c_j\) очевидно удовлетворяет условиям теоремы, а следующий разряд получает “перенос” \(p_j\) : \(a_j b_i + p_j \le P^2 — 2P + 1 + P-1 = P^2-P < P^2\) и может быть рассмотрен аналогично.

Получаем правила умножения: Каждый разряд второго операнда умножается на первый операнд, причем результат смещается на положение этого разряда. Первый операнд умножается на разряд второго поразрядно, начиная с младшего, причем, если результат больше основания системы счисления P, то, записанный в P-ичной системе счисления результат будет иметь два разряда, младший из которых определит текущий разряд промежуточного результата \(Y_i\) , а старший будет аддитивно перенесен в следующий.

Для облегчения умножения, существуют таблицы умножения. Их составление немного сложнее, чем таблиц сложения, однако при наличии таблиц сложения оказывается тоже достаточно простым.

Таблица умножения двоичной системы счисления

0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица умножения восьмеричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Таблица умножения шестнадцатиричной системы счисления

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Правила вычитания и деления

Правила вычитания и деления, как можно понять, абсолютно аналогичны правилам вычитания и деления в столбик в десятичной системе счисления, с той поправкой, что максимальная цифра ограничивается основанием системы счисления \(P\) .

Для вычитания можно использовать таблицы сложения, а для деления – таблицы умножения и сложения.

Правила преобразования чисел между системами счисления.

Другим интересным следствием теоремы о единственности представления чисел является преобразование чисел между системами счисления.

Преобразование чисел в десятичную систему счисления

Если дано число \(X\) в P-ичной системе счисления, то для его перевода в десятичную, достаточно записать представление в виде числового ряда в десятичной системе и вычислить получившееся выражение. Другими словами, каждую цифру перевести в десятичную систему, домножить на ее “вес” (в десятичной системе) и сложить полученные числа.

\[ ACE_ <16>= 10 \cdot 16^2 + 12 \cdot 16 + 14 = 2560 + 192 + 14 = 2766 \]

\[ 10100101110110_2 = 2 + 4 + 16 + 32 + 64 + 256 + 2048 + 8192 = 10614 \]

Преобразование чисел из десятичной системы счисления

Рассмотрим разложение числа \(X\) в P-ичной системе счисления:

\[ X = a_n P^n + \ldots + a_1 P^1 + a_0 \]

Если разделить \(X\) на \(P\) с остатком, то получим

то есть \(a_0\) – остаток, а \((a_n P^ + \ldots + a_1)\) – частное. Если теперь разделить частное на \(P\) , получим:

\[\frac + \ldots + a_1>

= a_n P^ + \ldots + a_2 + \frac

.\]

Ясно, что мы можем повторить эту процедуру \(n\) раз, и в результате получим \(0\) в частном и \(a_n\) в остатке.

Таким образом, мы можем получить значения всех разрядов в P-ичном числе, пользуясь его десятичным представлением.

\[ 9283_ <10>= _2 \] \[ 9283/2 = 4641\;(1)\] \[ 4641/2 = 2320\;(1)\] \[ 2320/2 = 1160\;(0)\] \[ 1160/2 = 580\;(0)\] \[ 580/2 = 290\;(0)\] \[ 290/2 = 145\;(0)\] \[ 145/2 = 72\;(1)\] \[ 72/2 = 36\;(0)\] \[ 36/2 = 18\;(0)\] \[ 18/2 = 9\;(0)\] \[ 9/2 = 4\;(1)\] \[ 4/2 = 2\;(0)\] \[ 2/2 = 1\;(0)\] \[ 1/2 = 0\;(1)\]

Получаем, \[ 9283_ <10>= 10010001000011_2 \]

Аналогично, \[ 9283_ <10>= _ <16>\] \[ 9283/16 = 580\;(3)\] \[ 580/16 = 36\;(4)\] \[ 36/16 = 2\;(4)\] \[ 2/16 = 0\;(2)\] \[ 9283_ <16>= 2443_<16>\]

Смешанные системы счисления

Пример смешанного двоично-шестнадцатиричного числа: \[ <[1011_2][1110_2][1110_2][1111_2]>_ <16>\]

Пример смешанного десятично-шестнадцатиричного числа:

Интересная особенность проявляется в PQ-ичных системах счисления, в которых основание Q – это степень основания P.

Рассмотрим две системы счисления с основаниями \(P\) и \(Q\) , причем \(Q = P^k\) , где \(m\in\mathbb\) . Тогда число \(X\) можно разложить как \[ X = \sum_^n a_i P^i, \] \[ X = \sum_^ b_j Q^j.\]

Приравняв оба представления и подставив \(Q = P^k\) ,

\[ \sum_^n a_i P^i = \sum_^ b_j P^\] \[ a_n P^n + \ldots + a_ <2k-1>P^ <2k-1>+ \ldots + a_ P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0\] \[ a_n P^n + \ldots + \left( a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_\right) P^ + a_ P^ + \ldots + a_0 = b_m P^ + \ldots + b_1 P^k + b_0.\]

Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, можем сказать, что

\[b_0 = a_ P^ + \ldots + a_0,\] \[b_1 = a_ <2k-1>P^ + \ldots + a_k,\] \[\ldots\]

Получаем, что каждая Q-ичная цифра соответствует P-ичному числу из \(k\) цифр, и наоборот.

Эта связь позволяет легко переводить числа между системами счисления с основаниями \(P\) и \(Q\) , если \(Q = P^k\) .

Для перевода из P-ичной в Q-ичную, число разбивается на группы по \(k\) P-ичных цифр, и каждая из групп переводится в Q-ичную систему счисления.

Для перевода из Q-ичной в P-ичную, каждая Q-ичная цифра переводится в P-ичную систему счисления, и при необходимости дополняется слева нулями до \(k\) цифр.

Автоматическое составление таблиц сложения и умножения

Несложно оказывается написать программу, которая автоматически строит таблицы сложения и умножения.

Деление:

Деление в других системах счисления происходит точно так же, как и мы привыкли делить.

1. Делить удобнее «столбиком»
2. Деление в любой системе счисления происходит по тем же правилам, что и в десятичной. Но мы можем использовать только алфавит, данный системы счисления

Пример:

Разделить 1011011 на число 1101 в двоичной системе счисления

Разделить F 3 B на число 8 в шестнадцатеричной системе счисления

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:

• 1 — |
• 2 — ||
• 3 — |||, и т. д.

Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы, из которой последовательным сложением получается необходимое число:

Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания. Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.

Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячеления до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:

• шест — единицы,
• дуга — десятки,
• пальмовый лист — сотни,
• цветок лотоса — тысячи.

Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками — старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы — большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей — вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.

Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.

В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.

В качестве словесной системы номерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны в языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций вредполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.

В качестве словообразующих корней в основном используются названия для чисел первого десятка и степеней десяти:

• 0 — нуль, англ. zero;
• 1 — один, англ. one;
• 2 — два, англ. two;
• 3 — три, англ. three;
• 4 — четыре, англ. four;
• 5 — пять, англ. five;
• 6 — шесть, англ. six;
• 7 — семь, англ. seven;
• 8 — восемь, англ. eight;
• 9 — девять, англ. nine;
• 10 — десять, англ. ten;
• 100 — сто, англ. hundred;
• 1000 — тысяча, англ. thousand;

Второй десяток нередко образуется модификацией названий первого — в русском это добавление в конце суффиксоила -надцать, в английском — -teen. Аналогично обзразуются десятки — -дцать, -десять; и сотни — -ста, -сот. То есть имеется словообразование слиянием уникальных корней.

Среди больших чисел как правило названия имеют степени тысячи:

• 1000 2 = 10 6 — миллион;
• 1000 3 = 10 9 — миллиард, биллион;
• 1000 4 = 10 12 — триллион;
• 1000 5 = 10 15 — квадриллион;
• и т. д.

Другие степени десяти практически вышли из употребления — 10 4 — тьма, мириада и т. д.

Прочие числа образуются комбинированием набора слов с использованием сложения и перемножения их значений. При этом выполняемая операция зависит от типа языкового согласования слов: семнадцать тысяч — это 17·1000 = 17 000, а тысяча семнадцать — это 1000+17 = 1017.