Что означает def над знаком равно

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Чем "равно по определению" отличается от "равносильно"?

Последний раз редактировалось Denis Russkih 20.09.2013, 23:37, всего редактировалось 2 раз(а).

Прошу извинить за бредовый вопрос, но вот начал читать Зорича и завис на этом моменте. 🙂

Скажем, там приводится такое равенство по определению:

$(A \subset B) := \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Так вот, как я ни старался, так и не смог постичь, зачем конкретно нужен выпендрёж с дополнительным значком присваивания. 🙂 Почему нельзя просто написать:

$(A \subset B) \Leftrightarrow \forallx((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

Очевидно, специальный символ «равно по определению» использован не просто так, но какой именно глубокий смысл в этом сокрыт. Значок нарисовали просто для того, чтобы показать, в каких случаях его можно использовать. Или тут что-то большее?

Далее на той же странице написано:

$(A = B) \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)$

Здесь Зорич символом «равносильно» не побрезговал. 🙂 Но почему так? Почему бы не использовать и здесь «равенство по определению»?

Я долго пытался понять, что же такого есть в одном высказывании, чего нет в другом (придумал сразу несколько версий, одна другой причудливее), и в итоге понял, что мой мозг не справляется с обработкой этой задачи. 🙂

Такое впечатление, что это никак не объяснимо с логической точки зрения, а относится к чему-то сакральному, что называют «математической культурой» и передают в ходе живого общения.

Поскольку я математику пытаюсь изучать самостоятельно, по книгам, просто как хобби, то с «математической культурой» у меня напряг. 🙂

Может, кто-нибудь пояснит, в каких случаях используется символ «равно по определению», и почему там нельзя использовать «равносильно»? И в каких случаях, наоборот, можно использовать лишь «равносильно», а «равно по определению» — нельзя.

Я, конечно, пытался гуглить, но только ещё больше запутался. Оказалось, существует ещё и символ
$:\Leftrightarrow$
который означает «равносильно по определению»! Это слишком для моего разума! 🙂

Почему очень похожие высказывания в каких-то случаях «равны по определению», в каких-то — «равносильны», а где-то, оказывается, могут быть и «равносильны по определению».

Последний раз редактировалось venco 21.09.2013, 00:04, всего редактировалось 1 раз.

Равносильно — значит это равенство можно доказать.
Определение же вводит новое понятие, которого ранее не было. В данном случае — понятие подмножества. В принципе это некоторого рода аксиома, хотя аксиома не обязательно вводит новое понятие.
Используя это (и ранее введённые определения и аксиомы) можно доказать равносильность вашего равенства множеств.

Последний раз редактировалось provincialka 20.09.2013, 23:57, всего редактировалось 1 раз.

А что такое определение? Утверждение, придающее смысл некоему новому понятию. Каждое понятие когда-то вводится в первый раз. Например, мы дали определение синусу и косинусу. Можно ли теперь написать

$$\frac<\sin x><\cos x>=\tg x$» />, если понятие «тангенс» еще не вводилось? Ведь такое равенство невозможно будет проверить! Нет, сначала задаем <img decoding=$ — то есть «по определению», но не смогла

А вот в вашем примере с равенством множеств, наоборот. Само равенство, видимо, задается (определяется) другим утверждением (например, через элементы множеств). Равносильность же показывает, что это определение можно записать и с помощью знака включения.

В общем первое упоминание нового понятия требует присвоения, а все последующие — равносильности (или, скажем, следования и т.п.)

Кстати, такой простой знак, как «равно» может иметь самый разный смысл. Например, постоянную функцию можно описать равенством $y = 2$ . Но равносильно ли оно равенству ?

Что означает def в математике

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A ⊂ B обозначает то же, что и B ⊃ A .

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

Среднее арифметическое〈〉, ̅
Знак тождественности: ≡ : <, >, ⩽, ⩾, ≪, ≫
Знак порядка (тильда):

Список математических аббревиатур

Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов.

Содержание

Аббревиатуры

Примечание. Обычно регистр буквы имеет значение.

Латиница

adj — союзная матрица;
Ai — функция Эйри;
arccos — функция арккосинуса;
arccosec — функция арккосеканса (в англоязычной традиции arccsc);
arcctg — функция арккотангенса (в англоязычной традиции arccot);
arcsch — функция гиперболического ареакосеканса (в англоязычной традиции arcosech);
arch — функция гиперболического ареакосинуса (в англоязычной традиции arcosh);
arcth — функция гиперболического ареакотангенса (в англоязычной традиции arcoth);
arcsec — функция арксеканса;
arcsin — функция арксинуса;
arctg — функция арктангенса (в англоязычной традиции arctan);
arg — аргумент комплексного числа;
arg max — аргумент максимизации;
arg min — аргумент минимизации;
arsch — функция гиперболического ареасеканса (в англоязычной традиции arsech);
arsh — функция гиперболического ареасинуса (в англоязычной традиции arsinh);
arth — функция гиперболического ареатагенса (в англоязычной традиции artanh);
Aut — группа автоморфизмов модели;
Bi — функция Эйри второго рода;
card — мощность множества;
ch — функция гиперболического косинуса (в англоязычной традиции cosh);
char — характеристика кольца;
Ci, ci, Cin — функции интегрального косинуса;
cl — топологическое замыкание;
cod — область значений функции;
const — константа;
cos — функция косинуса;
cosec — функция косеканса (в англоязычной традиции csc);
cov — ковариацияслучайных величин;
csch — функция гиперболического косеканса(в англоязычной традиции cosech);
ctg — функция котангенса (в англоязычной традиции cot);
cth — функция гиперболического котангенса (в англоязычной традиции coth);
D — дисперсия случайной величины (в англоязычной традиции var);
def — дефиниция;
deg — степень многочлена (также обозначается как ∂);
del — оператор набла (также обозначается как $\nabla$ , однако обычно отдельно не употребляется);
det — определитель матрицы или линейного преобразования (также обозначается как $|\cdot|$ );
diag — диагональная матрица;
dim — размерностьвекторного пространства;
div — дивергенция векторного поля (также обозначается как $\nabla\cdot$ );
dom — область определения функции;
End — эндоморфизм модели;
Ei — интегральная показательная функция;
erf — функция ошибок;
erfc, Erf — дополнительная функция ошибок;
exp — экспоненциальная функция;
ext — внешность топологии;
Gal — группа Галуа (также обозначается как Γ);
НОД — наибольший общий делитель (в англоязычной традиции gcd, hcf);
grad — градиент поля (также обозначается как $\nabla$ );
id — тождественное отображение;
Im — мнимая часть комплексного числа или образ (также обозначается как $\Im$ );
inf — точная нижняя грань;
int — внутренняя точка множестваили внутренность множества;
Ker — ядро;
lb — двоичный логарифм (log₂);
НОК — наименьшее общее кратное (в англоязычной традиции lcm);
lg — десятичный логарифм (log₁₀) или двоичный логарифм (log₂);
Li, li — функция интегрального логарифма;
lim — предел последовательности или функции;
ln — натуральный логарифм, log_e;
log — логарифм;
logit — обратная к логистической функции;
max — максимум функции или множества;
min — минимум функции или множества; — что и требовалось доказать или quod erat demonstrandum;
probit — нормальная квантильная функция;
Re — действительная часть комплексного числа (также обозначается как $\Re$ );
Rk — ранг матрицы (также обозначается как Rg, Rang, Rank);
rot — ротор векторного поля (также обозначается как $\nabla\times$ , только в англоязычной традиции curl);
sch — функция гиперболического секанса (в англоязычной традиции sech);
sec — функция секанса;
sgn — функция сигнум (также обозначается как sign);
Si, si — функция интегрального синуса;
sin — функция синуса;
sh — функция гиперболического синуса (в англоязычной традиции sinh);
Sp — см. Tr;
span — линейная оболочка;
sup — точная верхняя граница множества (в англоязычной традиции lub);
supp — носитель функции;
Sym — симметрическая группа;
tg — функция тангенса (в англоязычной традиции tan);
th — функция гиперболического тангенса (в англоязычной традиции tanh);
Tr — след поля или след матрицы или линейного преобразования (также обозначается как Sp);
WO — Вполне упорядоченное множество; [источник не указан 768 дней]
ZF — аксиомы Цермело — Френкеля теории множеств;
ZFC — аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора теории множеств.

Математические обозначения

Символы, используемые в математике, имеют характерные значения, которые используются для точной записи определённых понятий и проведения операций, установленных данной дисциплиной.

Математические знаки позволяют вести запись материала в более компактной форме, изложение которого в обычном виде было бы весьма громоздким. Это в первую очередь способствует облегчению понимания содержания и его запоминания.

=	знак равенства	a = b
≠	не равно	a ≠ b
≈	приближенно равно	a ≈ b
>	больше	6 > 3
<	меньше	3 < 8
≥	больше или равно	a ≥ b
≤	меньше или равно	a ≤ b
\|\|	абсолютное значение	\|a\|
n √	корень n -й степени	3 √8 = 2
!	факториал	5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
log_b	логарифм при основании b	log₂8 = 3
lg	логарифм десятичный	lg100 = 2
ln	логарифм натуральный
lim	предел
const	постоянная величина
∑	сумма
Δ	треугольник	Δ ABC
∠	угол	∠ ABC
͝	дуга
\|\|	параллельно	AB \|\| CD
⊥	перпендикулярно	AB ⊥ CD
∼	подобно	Δ ABC ∼ Δ DEF
π	отношение длинны окружности к диаметру
°	градус	10°
′	минута	30′
″	секунда	40″
sin	синус	sin 30° = 1 / 2
cos	косинус	cos π / 2 = 0
tg	тангенс	tg 40° = 0.8391
ctg	котангенс	ctg 25° 10′= 2.128
sc	секанс	sc 60° = 2
csc	косеканс	csc 90° = 1
arcsin	арксинус	arcsin 1 / 2 = 30°
arccos	арккосинус	arccos 0 = π / 2
arctg	арктангенс	arctg 0.8391 = 40°
arcctg	арккотангенс	arcctg 2.128= 25° 10′
arcsc	арксеканс	arcsc 2 = 60°
arccsc	арккосеканс	arccsc 1 = 90°

Применение языка знаков в математике обусловлена спецификой дисциплины, так как она изучает формы и отношения предметов реального мира, в известных границах.

В математике весьма существенна и система доказательств, а те или иные доказательства построены на цепи высказываний, начальными значениями которых являются принятые исходные предложения, а результатом доказываемое утверждение.

Математические обозначения используются рационально, в случае, когда они указывают на точно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения разного рода теорий. Поэтому, перед тем как использовать те или иные знаки в рассуждениях или записях, необходимо чётко знать, что каждый из них обозначает.

СРОЧНО ДАЮ 30 поинтов.Великий Новгородпочему казнили бояр?Что дало Москве повод вмешиваться в отношения между Новгородом и Литвой СРОЧНО

Вопрос: Что дало Москве повод вмешаться в отношения между Великим Новгородом и Литвой? : Новгородская земля была расположена между Московским государством и Литвой. К середине XV в. Великий Новгород оказался в условиях, когда уже трудно проводить независимую политику. Вопрос: Почему Иван III казнил бояр — изменников, а простых новгородцев простил? : Решающее столкновение произошло в середине июля 1471 г. на реке Шелони. Новгородцы были разбиты. Бояр, желавших союза с Казимиром, казнили, простых людей отпустили без выкупа.

Лекции по Матанализу ч1

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. .

Бесконечно малые функции. .

Основные теоремы о пределах.

Некоторые замечательные пределы. .

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Сравнение бесконечно малых функций. .

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

Непрерывность функции в точке.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

Точки разрыва и их классификация. .

Свойства функций, непрерывных на отрезке. .

Введение в курс математического анализа

Понятие о логической символике

На ряду со специальными символами и терминами, которые будут вводиться в курсе математического анализа, рассмотрим распространенные символы математической логики.

— знак отрицания ; знак A означает «не А » (отрицание высказывания А );

— знак конъюнкции , заменяет союз «и»;

— знак дизъюнкции , заменяет союз «или»; запись A B означает, что имеет место

хотя бы одно из высказываний А, В; — знак следования (импликация);

— знак равносильности (эквивалентности).

Данные символы записаны в порядке приоритета.

В записи высказываний о множествах часто используют логические операторы:

— знак (квантор) существования. Заменяет слова: «для любого», «для каждого», «для всех». Заметим, что — перевернутая буква английского слова All (все).

— знак (квантор) существования. Заменяет слова: «существует», «найдется».- перевернутая первая буква английского слова Exists (существует).

Пусть и некоторые высказывания, тогда:

1. — имеет место высказывание и одновременно.

2. — имеет место высказывание или .

3. x — для любого x имеет место высказывание .

4. x — существует x , для которого имеет место высказывание .

5. запись — означает, что влечет или следует из . Иначе: — необходимое условие (признак) , — достаточное условие (признак) .

6. Запись — означает, что следует из и следует из . Иначе:

необходимо и достаточно для ; тогда и только тогда, когда .

является определением понятия .

7. (или ) – утверждение

Значок def означает, что сформулированное утверждение справедливо по определению (от английского definition – определение).

Основные понятия о множествах

Наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кант (1845-1918гг).

Множество элементов (объектов) — одно из первичных (неопределенных) понятий математики, является одним из самых фундаментальных в математике.

Синонимы : множество, совокупность, собрание, коллекция объектов, объединяемых по какому-то правилу, характеристическому свойству).

Вообще, всеобъемлющего определения множества не существует.

Множества обозначаются заглавными буквами A, B, C,…. Объекты множеств назовем его элементами и будем обозначать маленькими буквами: a, b, c,…

Множества определяются некоторым свойством а , которым должен обладать или не обладать каждый из рассматриваемых объектов: те объекты, которые обладают свойством а , образуют множество А .

Будем в дальнейшем рассматривать множества, входящие в некоторое определенное «универсальное» множество объектов М . Тогда множества объектов A, B, C,… и т.д.

некоторые подмножества из М. Если а – элемент множества А , то пишут a A ( а принадлежит множеству А ) или A a (множество А содержит элемент а ).

Факт непринадлежности элемента « а » множеству А обозначается так a A (т.е. не обладает свойством а ).

Частные случаи множеств:

конечное – состоящее из конечного числа элементов;

бесконечное – состоящее из бесконечного числа элементов ;

— пустое множество. Множество, не содержащее ни одного элемента. Два множества называются равными, если состоят из одних и тех же элементов:

( A B ) ( A B ) ( B A )

Отношение между множествами A B называется отношением включения .

Запись A B ( B A )

означает: любой элемент множества А является элементом

или: А – является подмножеством множества В . или: В содержит А.

или: В включает А.

Итак, ( A B ) x A , x B

( A B ) : x M /( x A ) ( x B )

Очевидно, что для любого множества А А .

Замечание: Если x – объект, Р – свойство, а Р(х) — обозначение того, что х обладает свойством Р , то через x / P ( x ) — обозначают класс объектов, обладающих свойством Р .

Простейшие операции над множествами.

Пусть A и B — подмножества множества М , т.е. A M и B M .

Определение 1. Объединением (соединением, суммой) множеств A и B называется множество, состоящее из все тех и только тех элементов М , которые содержатся хотя бы в