Главная страница » Почему нет формулы суммы квадратов

Почему нет формулы суммы квадратов

  • автор:

Научный форум dxdy

В школе говорят, что сумма квадратов не раскладывается на действительные числа, а как же тогда
$a^2 + b^2 = (a^<2/3>)^3 + (b^<2/3>)^3 = (a^ <2/3>+ b^<2/3>)(a^ <4/3>— (ab)^ <2/3>+ b^<4/3>)$» /></p>
<p>Значит, у вас плохая школа.</p>
<p>— Вс июн 13, 2010 20:45:51 —</p>
<p>Раскладывается, но вы всегда в праве сказать, что имели ввиду другое:<br /><img decoding=

$x^4+a^4=(x^2)^2+(a^2)^2$

— Вс июн 13, 2010 21:53:21 —

$x^4+x^2+25$и $x^8+34x^4+1$— тоже суммы квадратов, а приводимы даже над $\mathbb Z.$

Мне не понятно до конца. Например, $a^2+b^2=1\cdot(a^2+b^2)$искомое представление.

А как же тогда $(a^2+b^2)=-i(ia^2+ib^2)=(a+ib)(a-ib)$(про действительность коэф-тов Вы ничего не упоминали)
Вы всё-таки, сможете сформулировать то, что хотели (или не хотели) сказать?

Последний раз редактировалось gris 14.06.2010, 17:12, всего редактировалось 1 раз.

Сдаюсь. Впрочем, у меня тоже есть своё опровержение исходного высказывания:
$2^2+6^2=5\times8$

ЗЫ У меня короче по числу символов.

Сдаюсь. Впрочем, у меня тоже есть своё опровержение исходного высказывания:
$2^2+6^2=5\times8$

Можно было бы и не приводить такой высокоинтеллектуальный пример. Вполне хватило бы и https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/6/3a67686f59dcb9ef3e5e016c5f2e16d782.png^2+6^2=1\times(2^2+6^2)$

Сумма квадратов

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

\[{a^2} + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - 2ab = \]

\[ = {(a + b)^2} - 2ab.\]

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

\[{a^2} + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2} + 2ab = \]

\[ = {(a - b)^2} + 2ab.\]

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

\[{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = 10\]

\[x + \frac{3}{x}\]

\[{x^2} + \frac{9}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + {(\frac{3}{x})^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} = \]

\[ = {(x + \frac{3}{x})^2} - 6\]

Теперь используем данные условия:

\[{(x + \frac{3}{x})^2} - 6 = 10\]

\[{(x + \frac{3}{x})^2} = 16\]

\[x + \frac{3}{x} = 4;x + \frac{3}{x} = - 4\]

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

Почему формулы суммы квадратов не существует?

Почему нет формулы a2+b2?Почему все считают, что ее нет? Где доказательство? Например, a2+b2=(a+√2ab+b)(a-√2ab+b). Но в учебниках и книгах пишут, что ее нет.

Всем известна формула разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)*(a+b)). Автор вопроса спрашивает, почему не существует аналогичной формулы для суммы квадратов a^2+b^2. Действительно такой формулы нет, так как невозможно разложить сумму квадратов двух выражений на множители, а тот пример , что привел автор ошибочен (достаточно перемножить приведенные трехчлены). Но есть формулы, где сумму a^2+b^2 можно выразить в виде суммы или разности.

Формулы сокращённого умножения

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab — сумма квадратов;

a 2 — b 2 = (a + b)(ab) — разность квадратов;

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — квадрат суммы;

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 — квадрат разности;

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) — сумма кубов;

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ) — разность кубов;

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — куб суммы;

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 — куб разности.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b) 2 — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a 2 + ab + ab + b 2 — 2ab = a 2 + b 2 .

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a 2 — b 2 = (a + b)(ab).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(ab) = a 2 — ab + abb 2 = a 2 — b 2 .

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 2 = (ab)(ab) = a 2 — abab + b 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a 2 — ab + b 2 ) = a 3 — a 2 b + ab 2 + a 2 bab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(ab)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 — a 2 bab 2 — b 3 = a 3 — b 3 .

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 3 = (ab)(ab) 2 = (ab)(a 2 — 2ab + b 2 ) = a 3 — 2a 2 b + ab 2 — a 2 b + 2ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Неполный квадрат суммы

a 2 + 2ab + b 2

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a 2 + ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

a 2 — 2ab + b 2

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a 2 — ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *