Скаляр (математика) — Scalar (mathematics)
A скаляр — это элемент поля , который используется для определения векторного пространства. Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая направление и величину, называется вектором.
В линейной алгебре действительные числа или другие элементы поля называются скалярами. и связаны с векторами в векторном пространстве с помощью операции скалярного умножения, в которой вектор можно умножить на число, чтобы получить другой вектор. В более общем плане векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, например комплексных чисел. Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.
A операция скалярного произведения — не путать со скалярным умножением — может быть определена в векторном пространстве, что позволяет умножить два вектора для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения.
Реальный компонент кватерниона также называется его скалярной частью .
Этот термин также иногда используется неформально означать вектор, матрицу, тензор или другое обычно «составное» значение, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы размера n × 1, которое формально является матрицей 1 × 1, часто называют скалярным .
Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы формы kI, где k — скаляр, а I — единичная матрица.
Содержание
- 1 Этимология
- 2 Определения и свойства
- 2.1 Скаляры векторных пространств
- 2.2 Скаляры как компоненты вектора
- 2.3 Скаляры в нормированных векторных пространствах
- 2.4 Скаляры в модулях
- 2.5 Масштабное преобразование
- 2.6 Скалярные операции (информатика)
Этимология
Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris, прилагательной формы слова scala (латинское слово «лестница»), от которого английский словесная шкала тоже идет. Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в Франсуа Виэте в «Аналитическом искусстве» (In artem analyticem isagoge) (1591):
Величины, которые восходят или нисходят пропорционально в соответствии с их природой. от одного вида к другому могут называться скалярными терминами. (латинское: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендант vel нисходящий, vocentur Scalares.)
Согласно цитате в Оксфорде Словарь английского языка первое зарегистрированное использование термина «скаляр» в английском языке произошло с W. Р. Гамильтон в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:
Алгебраически действительная часть может принимать, в соответствии с вопросом, в котором она встречается, все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной до положительной бесконечности; поэтому мы будем называть его скалярной частью.
Определения и свойства
Скаляры — это действительные числа, используемые в линейной алгебре, в отличие от векторов. На этом изображении показан евклидов вектор. Его координаты x и y являются скалярами, как и его длина, но v не является скаляром.
Скаляры векторных пространств
Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая переводит скаляр k и вектор v в другой вектор k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение k (v 1, v 2,…, vn) <\ displaystyle k (v_ <1>, v_ <2>, \ dots, v_
)> дает (kv 1, kv 2,…, kvn) <\ displaystyle (kv_ <1>, kv_ <2>, \ dots, kv_ )> . В (линейном) функциональном пространстве kƒ — это функция x ↦ k (ƒ (x)). Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные, алгебраические, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.
Скаляры как компоненты вектора
Согласно основной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис. Отсюда следует, что каждое векторное пространство над скалярным полем K изоморфно координатному векторному пространству, где координаты являются элементами K. Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n-мерному реальному пространству R.
Скаляры в нормированных векторных пространствах
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащено функцией norm, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина v, эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством).
Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V, что ограничивает последнее поле, поддерживающее понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или больше, K должно быть замкнуто под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но допускается поле surd. По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.
Скаляры в модулях
Когда требование, чтобы набор скаляров формировал поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать кольцо (так, чтобы, например, деление скаляров не нужно определять или скаляры не обязательно должны быть коммутативными ), результирующая более общая алгебраическая структура называется модулем.
. В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведения R могут быть преобразованы в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий, где пространство секций касательного расслоения образует модуль над алгеброй вещественных функций на коллектор.
Масштабирующее преобразование
Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования, разновидностью линейного преобразования.
Скаляр, скалярная величина
Научные статьи на тему «Скаляр, скалярная величина»
Неравновесная термодинамика
Основанием для введения данных величин является то, что через них производство энтропии выражается в.
Неравновесные процессы подразделены на: скалярные, тензорные и векторные, в зависимости от типов потоков.
силы (скаляры, тензоры, векторы).
К группе скалярных процессов можно отнести химические реакции (например, скорость реакции внутри системы.
в каждой ее точке будет характеризоваться скалярной величиной).Оценка экономической эффективности нововведений
Характеристикой эффективности технологических нововведений является показатель экономического эффекта, который является в большей степени вектором, чем скалярной величиной. В нем находят отражение частные разнонаправленные показатели эффективности: прирост прибыли, производительности труда, увеличение фондоотдачи, уменьшение материалои энергоемкости, повышение технического уровня производства и т. д. В качестве показателя экономического эффекта обычно рассматривается разность между двумя упомянутыми выше векторами, соизмеренная с затратами на осуществление нововведений. Первый вектор характеризует состояние предприятия после внедрения, а второй до внедрения нововведений. Механизм выявления эффективности нововведений может рассматриваться и как скаляр, и как результат покомпонентного анализа. Если значение этого критерия неотрицательно, то использование технологических нововведений окупается.
Определение правой и левой тройки векторов
Понятие тройки векторов Из курса физики известно, что скалярные величины или скаляры — это величины.
То есть любое вещественное число является скаляром.
Векторные величины или векторы — это величины, которые определяют и численным значением, и направлениемОпределение геометрических инвариантов пространственной кривой в прикладной геоинформатике
При изучении пространственно-временных свойств систем в прикладной геоинформатике с каждой системой связывают геометрический объект (множество точек, линия, поверхность и т. д.), который однозначно определяется некоторым набором скалярных величин и геометрических образов. Если перемещать такой объект как твердое тело, то эти скаляры не будут меняться, а геометрические образы будут перемещаться вместе с ним, не меняя своего относительного расположения. Скаляры и геометрические образы, обладающие указанными свойствами, называют геометрическими инвариантами объекта. Одним из таких геометрических объектов является пространственная кривая. Вычисление геометрических инвариантов пространственной кривой не вызывает принципиальных затруднений, если ее координатные функции известны. В прикладной геоинформатике такая ситуация является исключительно редкой. Как правило, кривая задается множеством точек с известными координатами и определение геометрических инвариантов по этим данным практически.
Векторная и скалярная величина — чем они отличаются?
В физике существует несколько категорий величин: векторные и скалярные.
Что такое векторная величина?
Векторная величина имеет две основные характеристики: направление и модуль. Два вектора будут одинаковыми, если их значение по модулю и направление совпадают. Для обозначения векторной величины чаще всего используют буквы, над которыми отображается стрелочка. В качестве примера векторной величины можно привести силу, скорость или ускорение.
Для того, чтобы понять сущность векторной величины, следует рассмотреть ее с геометрической точки зрения. Вектор представляет собой отрезок, имеющий направление. Длина такого отрезка соотносится со значением его модуля. Физическим примером векторной величины является смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве. Такие параметры, как ускорение этой точки, скорость и действующие на нее силы, электромагнитного поля тоже будут отображаться векторными величинами.
Если рассматривать векторную величину независимо от направления, то такой отрезок можно измерить. Но, полученный результат будет отображать только лишь частичные характеристики величины. Для ее полного измерения следует дополнить величину другими параметрами направленного отрезка.
В векторной алгебре существует понятие нулевого вектора. Под этим понятием подразумевается точка. Что касается направления нулевого вектора, то оно считается неопределенным. Для обозначения нулевого вектора используется арифметический нуль, набранный полужирным шрифтом.
Что такое скалярная величина?
В отличие от вектора, скалярная величина обладает только лишь одним параметром – это ее численное значение. Стоит отметить, что анализируемая величина может иметь как положительное численное значение, так и отрицательное.
В качестве примера можно привести массу, напряжение, частоту или температуру. С такими величинами можно выполнять различные арифметические действия: сложение, деление, вычитание, умножение. Для скалярной величины такая характеристика, как направление, не свойственна.
Скалярная величина измеряется числовым значением, поэтому ее можно отображать на координатной оси. Например, очень часто строят ось пройденного пути, температуры или времени.
Основные отличия между скалярными и векторными величинами
Из описаний, приведенных выше, видно, что главное отличие векторных величин от скалярных заключается в их характеристиках. У векторной величины есть направление и модуль, а у скалярной только численное значение. Безусловно, векторную величину, как и скалярную, можно измерить, но такая характеристика не будет полной, так как отсутствует направление.
Для того, чтобы более четко представить отличие скалярной величины от векторной, следует привести пример. Для этого возьмем такую область знаний, как климатология. Если сказать, что ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то будет введена скалярная величина. Но, если сказать, что северный ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то речь пойдет о векторном значении.
Векторы играют огромную роль в современной математике, а также во многих сферах механики и физики. Большинство физических величин может быть представлено в виде векторов. Это позволяет обобщить и существенно упростить используемые формулы и результаты. Часто векторные значения и векторы отождествляются друг с другом. Например, в физике можно услышать, что скорость или сила является вектором.
Некоторые формулы векторной алгебры используются в таких областях науки, как:
- Сопромат.
- Кинематика.
- Облучение и электрическое освещение.
- Прикладная механика.
- Гидравлика.
- Электрические машины.
- Теоретическая механика.
- Физика.
Четкое осознание разницы между векторной и скалярной величиной позволит специалистам решать сложные задачи и более подробно характеризовать используемые данные.
Скаляр (математика) — Scalar (mathematics)
А скаляр является элементом поле который используется для определения векторное пространство. Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая как направление, так и величину, называется вектором. [1]
В линейная алгебра, действительные числа или другие элементы поля называются скаляры и связаны с векторами в векторном пространстве посредством операции скалярное умножение, в котором вектор можно умножить на число, чтобы получить другой вектор. [2] [3] [4] В более общем смысле, векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, например сложные числа. Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.
А скалярное произведение Операция — не путать со скалярным умножением — может быть определена в векторном пространстве, что позволяет перемножить два вектора для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутреннее пространство продукта.
Настоящая составляющая кватернион также называется его скалярная часть.
Этот термин также иногда неформально используется для обозначения вектора, матрица, тензор или другое, обычно «составное» значение, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение 1 ×п матрица и пМатрица × 1, которая формально является матрицей 1 × 1, часто называется скаляр.
Период, термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы вида kI куда k скаляр и я это единичная матрица.
Содержание
Этимология
Слово скаляр происходит от латинский слово скалярий, прилагательная форма Scala (Латинское слово «лестница»), от которого происходит английское слово шкала тоже приходит. Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике происходит в Франсуа Виет с Аналитическое искусство (В artem analyticem isagoge) (1591): [5] [ страница нужна ] [6]
Величины, которые возрастают или убывают пропорционально своей природе от одного вида к другому, могут быть названы скалярными членами. (Латинский: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендунт ввел нисходящий, vocentur Scalares.)
Согласно цитате в Оксфордский словарь английского языка первое зарегистрированное использование термина «скаляр» на английском языке пришло с В. Р. Гамильтон в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:
В соответствии с вопросом, в котором она встречается, алгебраически действительная часть может принимать все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной бесконечности к положительной; поэтому мы будем называть ее скалярной частью.
Определения и свойства
Скаляры векторных пространств
Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая принимает скаляр k и вектор v в другой вектор kv. Например, в координатное пространство, скалярное умножение k ( v 1 , v 2 , … , v п )
, v_ <2>, dots, v_ )> дает ( k v 1 , k v 2 , … , k v п ) , kv_ <2>, dots, kv_ )> . В (линейном) функциональное пространство, kƒ это функция Икс ↦ k(ƒ(Икс)). Скаляры можно брать из любого поля, включая рациональный, алгебраический, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.
Скаляры как компоненты вектора
Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры каждое векторное пространство имеет основа. Отсюда следует, что каждое векторное пространство над скалярным полем K является изоморфный к координатное векторное пространство где координаты являются элементами K. Например, каждое реальное векторное пространство измерение п изоморфен п-мерное реальное пространство р п .
Скаляры в нормированных векторных пространствах
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащен норма функция, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр ||v||. По определению, умножая v скалярным k также умножает свою норму на |k|, Если ||v|| интерпретируется как длина из v, эту операцию можно описать как масштабирование длина v к k. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированное векторное пространство (или же нормированное линейное пространство).
Норма обычно определяется как элемент Vскалярное поле K, что ограничивает последнее поле, поддерживающее понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должны быть закрыты под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключены, но серд поле приемлемо. По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.
Скаляры в модулях
Когда требование о том, что набор скаляров формирует поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать звенеть (так что, например, нет необходимости определять деление скаляров или скаляры не нужно коммутативный ) полученная более общая алгебраическая структура называется модуль.
В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если р кольцо, векторы пространства произведения р п можно превратить в модуль с п×п матрицы с записями из р как скаляры. Другой пример взят из теория многообразий, где пространство разделы из касательный пучок образует модуль над алгебра вещественных функций на многообразии.
Масштабирование трансформации
Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирование, типа линейное преобразование.